Stetigkeit/Unstetigkeit

Bekanntermaßen gibt es reelle Funktionen, die auf der Menge Q der rationalen Zahlen unstetig sind, und auf der Menge der irrationalen Zahlen stetig. Hier werden wir die Frage beantworten, ob es auch Funktionen gibt, die auf Q stetig sind, und unstetig ansonsten. Die Antwort ist "Nein" (Behauptung 3). Vorher stelle ich noch kurz die bekannten Funktionen des klassischen Problems dar.

1 Definition:: Die Funktion

heißt "Diracsche Funktion".

Eine beliebte Übungsaufgabe zur Vorlesung Infinitesimalrechnung I (Analysis I) ist es, zu zeigen, daß f_d genau auf Q unstetig ist, und auf [0,1]-Q stetig. Dies zeige ich hier nicht mehr. Etwas ähnliches kann man mit allen abzählberen Mengen machen.

Im folgenden sei I := [0,1].

2 Behauptung:

Ist A subset I eine abzählbare Menge, A=(a_n)_{n in IN} (a_n paarweise verschieden), so ist die Funktion

abgewandelte Dirac-Funktion

stetig auf I-A und unstetig auf A.

Beweis:

A kann kein offenes Teilintervall von I enthalten. In jeder Umgebung von jedem a_n gibt es also Punkte aus I-A. f kann deshalb in a_n nicht stetig sein.

Ist umgekehrt $lim a_n_k=a\not in A$ , so muß n_k gegen Unendlich gehen. Damit gilt

lim f(a_n_k)=f(a)

Deshalb ist f bei a stetig. Ist a not in A und gibt es keine solche Folge, so ist die Stetigkeit bei a ebenso klar.

3 Behauptung:

Es sei Q_I:=I cap Q. Es gibt dann keine Funktion f:I->IR, die auf Q_I stetig ist, und auf I-Q_I unstetig.

Beweis:

f:I->IR sei eine Funktion, die auf Q_I stetig ist. Wir wollen zeigen, daß es einen Punkt x in I-Q_I gibt, bei dem f ebenfalls stetig ist. Dazu sei x₁ in Q_I beliebig. Da f bei x₁ stetig ist, gibt es ein offenes Intervall I₁, das x₁ enthält, und für das gilt:

x in I₁ => |f(x)-f(x₁)| < 1

Man wähle nun k₁ so, daß

Auch x₂ ist rational, und es ist x₂ in I₁. Wir konstruieren nun x_n, k_n und I_n mit folgenden Eigenschaften:

x_n in I_n Q
I_n-1
|f(x)-f(x_n)| < 1/n für x in I_n
k_n>k_n-1
x_n=x_n-1+1/10^(k_n-1!)
(x_n-2/10^(k_n!), x_n+2/10^(k_n!)) I_n

Nun sei induktiv schon x_n, k_n-1, I_n-1 konstruiert. Wir suchen x_n+1, k_n und I_n. Aus Bedingung (5) (für n) und Bedingung (6) (für n-1) folgt, daß x_n in I_n-1 ist.

f ist stetig bei x_n, da x_n rational ist. Wir wählen ein offenes Intervall I_n, das x_n enthält, mit Abschluß von I_n subset I_n-1, und zwar so klein, daß |f(x)-f(x_n)|<1/n für x in I_n. Dann wählen wir k_n so groß, daß Bedingungen (4) und (6) erfüllt sind.

Wir setzen wieder x_n+1=x_n+1/10^(k_n!). Mit x_n ist damit auch x_n+1 rational. Damit sind alle sechs Bedingungen erfüllt.

Nun ist $x_n=x_1+\sum(1/10^k_i!$ . Diese Reihe ist wegen k_n+1>k_n konvergent und x:=lim(x_n) ist irrational (z.B. weil die Dezimaldarstellung der Summe weder abbrechend noch periodisch sein kann).

Nun zeigen wir, daß f an dieser Stelle x stetig ist. epsilon >0 sei also gegeben. Wir wählen ein N so, daß 1/N< epsilon /2. Wegen x_n in I_n und I_n+1 subset I_n ist {x}= cap Abschluß von I_n . Da nach Konstruktion sogar $Abschluß von I_{n+1}$ subset I_n gilt, ist damit sogar x in I_n für alle n, und insbesondere x in I_N. Für y in I_N gilt:

Fazit: x besitzt eine offene Umgebung (nämlich I_N), auf der |f(x)-f(y)|< epsilon gilt. Dies bedeutet, daß f bei x stetig ist, obwohl x notin Q_I.

4 Kommentar:: Das ist (für mich) ein einigermaßen überraschendes Ergebnis. Es zeigt, daß stetige Funktionen doch nicht völlig beliebig konstruiert werden können, sondern daß es für die Menge der Unstetigkeitsstellen schwierige Restriktionen gibt. Immerhin aber gilt folgendes:

5 Behauptung:

Es gibt eine Lebesgues-Nullmenge N mit Q_I subset N subset I und eine Funktion f:I->I, die auf N stetig ist, und auf I-N nicht.

Beweis:

Es sei Q_I=(a_n)_{n in IN} eine Abzählung von Q_I, wobei die a_n paarweise verschieden seien. Weiter sei

U_k=...

Trivialerweise ist U_k+1 subset U_k und

lambda(U_k)=1/2^k

Man setze nun N:= cap U_k. N ist eine Lebesgues-Nullmenge, welche Q_I enthält, denn Q_I ist in jedem U_k enthalten. Wir definieren f:I-> I wie folgt:

f(x)=...

f ist stetig auf N, denn zu x in N und epsilon >0 findet sich ein k in IN mit 1/k< epsilon . Für diejenige Zusammenhangskomponente von U_k, in der x liegt, gilt: |f|<=1/k< epsilon .

f ist nicht stetig auf I-N, denn mit Q_I liegt auch N dicht in I. Zu gegebenem x in I-N mit f(x)=1/k₀ findet man in jeder Umgebung Punkte y mit f(y)=0. Sobald also epsilon <1/k₀ ist, läßt sich die Stetigkeitsbedingung nicht mehr erfüllen.

6 Bemerkung

Würde man bei dieser Konstruktion als Intervallänge statt 1/2ⁱ z.B. 1/3ⁱ oder auch 1/2^{i^2} etc. nehmen, würde man noch kleinere Nullmengen N bekommen (glaube ich). Die obige Nullmenge ist in diesem Sinne nicht minimal. Egal wie schnell man die Intervalllängen kleiner macht, es wird immer transzendente Zahlen geben, die sich noch schneller durch rationale Zahlen approximieren lassen. Darauf genau beruht die Konstruktion in Beh.2, wo wir eine solche "gut approximierbare" Zahl gesucht haben.

Bei der Konstruktion in Beh.3 haben wir keine speziellen Eigenschaften von Q_I benötigt, lediglich die Abzählbarkeit und die Dichtheit, und letztere wird nur der Bequemlichkeit halber benutzt. Wäre die Menge nicht dicht, so könnte man die Funktion leicht so abändern, daß die Beh. wieder stimmt.

Diesen Text habe ich ursprüngich Anfang der 90er zu Beginn meines Mathestudium geschrieben. Ich habe zwar jetzt auf Anhieb keine Fehler entdeckt, aber wenn jemand einen relevanten Fehler findet, wäre ich für eine Benachrichtigung dankbar.