8 Die Hausdorff-Dimension der Julia-Menge

8.1 Definition der Hausdorff-Dimension

Die Idee bei der Definition der Hausdorff-Dimension ist ungefähr folgende: Ist ein metrischer Raum E gegeben, so kann man ihn mit kleinen Kreisscheiben von Radius d abdecken. Wieviele Kreisscheiben braucht man nun, wenn man den Radius halbiert? Für Linien und Kurven (also das, was man üblicherweise als eindimensionale Objekte ansieht) braucht man rund doppelt so viele Kreisscheiben. Für Flächen dagegen ungefähr viermal so viele.

Man überdeckt also eine gegebene Menge mit immer kleineren Kreisscheiben und untersucht dann, wie schnell die benötigte Anzahl davon wächst.

Im folgenden bezeichne |E| den Durchmesser einer Menge E.

8.1.1 Definition:

E sei ein metrischer Raum, t in IR⁺. Für d>0 betrachten wir alle möglichen Überdeckungen von E mit Mengen vom Durchmesser <d. Wir definieren:

$m_t^d(E):={\rm inf}\{\sum_j\vert A_j\vert ^t \mbox{ wobei }\vert A_j\vert <d, E\subset\bigcup_j A_j\} \end{displaymath}$

Wird d kleiner, so gibt es weniger zugelassene Überdeckungen, und m_t^d(E) wird größer.

Das t-dimensionale Hausdorff-Maß der Menge E ist definiert durch

m_t(E) := lim_d-->0m_t^d(E)

Wenn wir den Wert Unendlich zulassen, existiert dieser Grenzwert immer.

8.1.2 Lemma:: Ist m_t(E)< $\infty$ , dann gilt für jedes T>t: m_T(E)=0.

Beweis:: Ist {A_j} eine Überdeckung mit |A_j|<d, so rechnet man sofort nach, daß m_T^d(E)<=d^T-tm_t^d(E). Für d-->0 erhält man das gewünschte Ergebnis.

8.1.3 Definition:: Also gibt es eine Zahl dim(E), so daß m_t(E)=0 für t>dim(E) und m_t(E)= $\infty$ für t<dim(E). Diese Zahl dim(E) heißt Hausdorff-Dimension von E.

8.1.4 Übung:: Zeige: Ist E abzählbar, so ist dim(E)=0. Ist E $\subset$ IR, so ist dim(E)<=1. ist E $\subset$ ${\bf\hat C}$ , so ist dim(E)<=2.

Es gibt ein etwas bequemeres Mittel, die Hausdorff-Dimension zu berechnen oder zumindest abzuschätzen:

8.1.5 Satz:: $\mu$ sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Teilmenge E $\subset$ C, und es gebe positive Konstanten c,t,r₀, so daß für Kreisscheiben mit Radius r<r₀ um Punkte z in E gilt:

$\mu$ (D(z.r))>=c·r^t.

Dann gilt: dim(E)>=t.

Der Beweis ist nicht schwierig, wird hier aber trotzdem nicht gebracht, da er nichts mit Julia-Mengen zu tun hat.

8.2 Die Dimension von Julia-Mengen

Liegt der Punkt Unendlich in der Fatou-Menge einer rationalen Funktion R, so liegen keine Pole in J(R). Deshalb nimmt |R'(z)| ein endliches Maximum K₀ auf dem Kompaktum J(R) an.

8.2.6 Satz:: R sei eine rationale Abbildung mit Grad d>=2. Liegt dann der Punkt Unendlich in F(R), so gilt:

dim(J(R)) >= (ln d)/(ln K₀).

Die Schranke wird für R(z)=z^d angenommen.

Wir haben es hier nicht gezeigt, aber die Zahl K₀ ist immer >1, weil die Julia-Menge immer einen abstoßenden Zykel enthält. Die Ungleichung ist also immer sinnvoll.

Die Beweisidee ist, daß man einen Punkt z aus der Fatou-Menge nimmt, so daß für jedes n die Menge R^-n(z) aus genau dⁿ Punkten besteht. Man definiert nun ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ _n, das auf dieser Menge gleichmäßig verteilt ist, und kann zeigen, daß eine Teilfolge schwach gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf J(R) konvergiert. Schließlich beweist man noch eine Abschätzung für die Verteilung der Punkte aus den R^-n(z), aus der eine Abschätzung ähnlich der aus Satz 8.1.5 für die $\mu$ _n folgt.