7 Kritische Punkte

• Kritische Punkte und periodische Gebiete
• Anwendungen
• Die Fatou-Menge von Polynomen und ihre Symmetrie-Gruppe
• Julia-Mengen, die Cantor-Mengen sind

7.1 Kritische Punkte und periodische Gebiete

7.1.1 Definition:

Ein Punkt heißt kritischer Punkt einer meromorphen Abbildung R, falls R in keiner Umgebung des Punktes injektiv ist.

Nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.6) hat eine rationale Abbildung vom Grad d höchstens 2d-2 kritische Punkte.

7.1.2 Definition:

R sei eine rationale Abbildung.

(a)

Das Becken eines anziehenden Zykels (z₁,...,z_n) ist die Vereinigung derjenigen Komponenten von F(R), die ein z_i enthalten.

(b)

Ein Becken eines rational indifferenten Zykels ist eine Vereinigung von Blütenblättern (s. Satz 5.4.12.) des Zykels, die aufeinander abgebildet werden.

(c)

Ein Becken eines irrational indifferenten Zykels ist die Vereinigung von Siegel-Kreisscheiben, oder von Herman-Ringen, die aufeinander abgebildet werden.

Ein rational indifferenter Zykel kann also durchaus mehrere Becken haben. Ein irrational indifferenter Zykel braucht gar kein Becken zu haben, nämlich wenn er in der Julia-Menge liegt.

7.1.3 Satz:

R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2. Dann enthält jedes Becken eines anziehenden oder rational indifferenten Fixpunktes einen kritischen Punkt.

Beweis:(Skizze)

Es reicht, den Satz für Fixpunkte anstatt für Zykel zu zeigen, denn ist (Rⁿ)'(z)=0, so muß eines der R'(z), R'(R(z)),..., R'(R^n-1(z)) Null sein.

F₀ sei das Becken eines anziehenden Fixpunktes. Da J(R) aus mindestens drei Punkten besteht, ist die universelle Überlagerung von F₀ die Kreisscheibe ID. Wir können die Überlagerung so wählen, daß 0 auf den Fixpunkt abgebildet wird. R läßt sich liften zu einer Abbildung S:ID-->ID.

Hat R nun keinen kritischen Punkt, so auch S nicht. Mit der Vorgabe S^-1(0)=0 können dann lokale Inverse von S entlang von Wegen mit Anfangspunkt 0 holomorph fortgesetzt werden. Da ID einfach zusammenhängend. ist, wird auf diese Weise eine globale Inverse S^-1 definiert. S muß also ein Automorphismus von ID sein. Daraus folgt, daß nicht |S'(0)|<1 sein kann.

Der rational indifferente Fall verlangt mehr Arbeit. Auch hier wird ein R ohne kritische Punkte geliftet zu einem Automorphismus S, der diesmal aber parabolisch sein wird. Alle Automorphismen von ID sind aber Isometrien bzgl. der hyperbolischen Metrik. Nun muß man nochmal ganz tief in den Beweis des Blütenblättersatzen einsteigen, um zu zeigen, daß für z in F₀ gilt: lim d_hyp(Rⁿ(z),Rⁿ⁺¹(z))=0.

7.1.4 Korollar:

R sei eine rationale Abbildung vom Grad d>=2. Dann ist die Anzahl der anziehenden plus die Anzahl der rational indifferenten Zykel höchstens 2d-2.

Für irrational indifferente Punkte gilt eine solche Aussage sicher nicht, da wir bereits wissen, daß R als Rotation auf Siegel-Kreisscheiben oder Herman-Ringen operiert. Ohne Beweis gilt hier aber:

7.1.5 Satz:

C⁺(R) sei die Menge der Vorwärts-Bilder von kritischen Punkten einer rationalen Funktion R. G sei das Becken eines irrational indifferenten Zykels. Dann ist der Rand von G im Abschluß von C⁺(R) enthalten.

Anders ausgedrückt: Siegel-Kreisscheiben und Herman-Ringe enthalten zwar keine kritischen Punkte, sie werden aber von kritischen Punkten der Rⁿ begrenzt.

7.2 Anwendungen

In diesem Abschnitt folgen einige Korollare zu den beiden Sätzen aus dem letzten Kapitel.

7.2.6 Korollar:

R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2. Dann ist jede vorwärts-invariante Komponente F₀ von F(R) einfach, doppelt, oder unendlichfach zusammenhängend. Und doppelt zusammenhängend sind nur Herman-Ringe.

Beweis:

Wegen der Klassifikation von vorwärts-invarianten Komponenten (Satz 6.2.5.), müssen wir nur den Fall betrachten, daß F₀ eine anziehende Komponente oder ein Blütenblatt ist, und endlich zusammenhängend ist. In allen anderen Fällen ist die Behauptung klar.

R:F₀-->F₀ ist eine m-blättrige Überlagerung. Ist k die Anzahl der kritischen Punkte von R in F₀, so gilt nach der Formel von Riemann-Hurwitz (1.5.7): e(F₀)+k=m·e(F₀). Nach Satz 7.1.3. ist k positiv, und deshalb gilt: (m-1)e(F₀)=k>0. Also ist m>1 und e(F₀)=1, d.h. F₀ ist einfach zusammenhängend.

7.2.7 Korollar:

Hat die Fatou-Menge F(R) einer rationalen Funktion vom Grad d>=2 zwei invariante Komponenten, so sind das auch die einzigen Komponenten von F(R).

Beweis:

F₁ und F₂ seien die beiden Komponenten. Die beiden können keine Siegel-Kreisscheiben oder Herman-Ringe sein, denn dann würde R als Bijektion auf ihnen operieren und hätte Grad 1.

Also sind F₁ und F₂ anziehend oder parabolisch. In beiden Fällen konvergieren die Iterierten von R gegen einen Fixpunkt z_i. Nach Satz 4.2.2. sind F₁ und F₂ außerdem einfach zusammenhängend. Da jeder Punkt in F_i genau d Urbilder in F_i hat, muß nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.7) R dann genau d-1 kritische Punkte in jedem der F_i haben. Da es aber insgesamt nur 2d-2 hat, liegen alle kritischen Punkte und alle ihre Vorwärts-Bilder in diesen beiden Komponenten und häufen sich nur bei den z_i.

Hätte F(R) noch andere Komponenten, so hätte es nach dem (Satz über wandernde Gebiete (6.3.7)) auch periodische Komponenten verschieden von F₁ und F₂. Da wir aber nun wissen, wo die kritischen Punkte liegen, sehen wir mit Hilfe der Sätze aus dem letzten Abschnitt sofort, daß dies nicht möglich ist.

7.2.8 Korollar:

Ist jeder kritische Punkt einer rationalen Abbildung R präperiodisch, so ist F(R) leer. ("Präperiodisch" hieß: Ein Bild ist periodisch, der Punkt selber aber nicht. Definition 3.7.21.)

Beweis:

F(R) sei nicht leer. Nach dem (Satz über wandernde Gebiete (6.3.7)) enthält F(R) dann einen super-anziehenden, anziehenden, rational oder irrational indifferenten Zykel. Im ersten Fall gibt es einen periodischen kritischen Punkt. In allen anderen Fällen gibt es kritische Punkte mit unendlichem Vorwärts-Orbit.

7.3 Die Fatou-Menge von Polynomen und ihre Symmetrie-Gruppe

Im folgenden sei P ein Polynom vom Grad d>=2. Wir wissen schon, daß jede beschränkte Komponente von F(P) einfach zusammenhängend ist, und daß die unbeschränkte Komponente von F(P) entweder einfach oder unendlich zusammenhängend ist. (Satz 4.2.2.)

7.3.9 Satz:

Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a)

ist einfach zusammenhängend.

(b)

J(P) ist zusammenhängend.

(c)

Es gibt keine endlichen kritischen Punkte in .

Beweis:

(a) und (b) sind äquivalent, da J(P) nach Satz 4.1.1 genau der Rand von ist. (Einfach zusammenhängend <==> der Rand besteht aus nur einer Komponente.)

Ist einfach zusammehängend, dann sagt die Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.7), daß P genau d-1 kritische Punkte (gezählt mit Multiplizität) in hat. P kann also außer keinen weiteren kritischen Punkt in haben. (Also: (a) ==> (c).)

Andersherum sei D eine Kreisscheibe um mit P(D)D. Weiter sei D_n:=P^-1(D). Die D_n schöpfen aus, und es ist Pⁿ(D_n)D. Nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.7) gilt:

e(D_n)+(dⁿ-1) =  dⁿ·e(D) =  dⁿ.

Also: e(D_n)=1. D_n ist also einfach zusammenhängend, und damit auch.

7.3.10 Übung:

Es sei P(z)=z²-1. Für ein w in F(P) bezeichne F_w die Komponente, in der w liegt. Zeige, daß F(P) aus unendlich vielen Komponenten besteht, und diese einfach zusammenhängend sind. Zeige weiter, daß P keine Siegel-Kreisscheiben hat, und daß und (F_-1,F₀) die einzigen periodischen Zykel sind. Schließe, daß jede beschränkte Komponente von F(P) für ein n von Pⁿ auf F₀ abgebildet wird.

Als nächstes beschäftigen wir uns mit der Frage, welche Symmetrien die Julia- Und Fatou-Menge von Polynomen haben.

7.3.11 Definition:

P sei ein Polynom. Die Symmetriegruppe S(P) von P ist die Menge der euklidischen Isometrien, die J(P) auf sich abbilden.

Inversionen sind hier also ausgenommen. Da Unendlich nicht in der Julia-Menge liegt, und diese nicht leer ist, kann die Symmetriegruppe keine Verschiebungen enthalten. Also ist S(P) eine Gruppe von Rotationen um einen Punkt z₀.

Besteht S(P) aus unendlich vielen Elementen, so kann man sich leicht überlegen, daß die Bilder jedes Punktes unter S(P) dicht auf einem Kreis liegen müssen. Da J(P) abgeschlossen ist, muß dann J(P) die Vereinigung konzentrischer Kreise sein. Da aber J(P) der Rand einer einzigen Komponente ist, besteht J(P) in diesem Fall nur aus einem einzigen Kreis.

Nun sei also S(P) endlich. Wo liegt das gemeinsame Zentrum der Rotationen?

7.3.12 Definition:

Es sei P(z)= a₀+...+a_d-1z^d-1+a_dz^d mit d>=2 und a_d<>0. Dann heißt

Z(P):=-a_d-1/(da_d)

das Zentroid von P.

7.3.13 Satz:

Es sei P ein Polynom. Dann sind die Elemente der Symmetriegruppe S(P) von P Rotationen um das Zentroid Z(P). Ist außerdem Z(P)=0 und hat P(z) die Form P(z)=z^aP₀(z^b) (mit a<d und einem Polynom P₀), so hat S(P) die Ordnung b.

(Wenn wir wissen wollen, wie die Symmetriegruppe ausieht, so bringen wir also zunächst via Konjugation das Zentroid in den Ursprung, und dann schauen wir uns an, welche Exponenten noch auftauchen. Vergleiche auch das Beispiel, das folgt.)

Der Beweis ist nichttrivial und erfolgt mit Hilfe von Greenschen Funktionen. Wir bemerken hier lediglich, daß, wenn w eine beliebige komplexe Zahl ist, das Zentroid der Schwerpunkt der Urbilder von w ist. Also: z₁,...,z_d seien die Urbilder. Dann ist P(z)=w+(z-z₁)·...·(z-z_d), und damit (z₁+...+z_d)/d=-a_d-1/(da_d).

7.3.14 Beispiel:

Es sei P(z)=z³-9z²+29z-3. Das Zentroid ist 3. Wir konjugieren mit g(z)=z-3 und erhalten (gPg^-1)(z)=z(2+z²). Die Symmetriegruppe besteht also aus zwei Drehungen um den Punkt 3, und zwar der Identität und der Drehung um 180°.

7.4 Julia-Mengen, die Cantor-Mengen sind

In diesem Abschnitt werde ich ohne Beweis noch ein Kriterium dafür angeben, wann eine Julia-Menge eine Cantor-Menge ist. Zunächst jedoch: Was bedeutet hier "Cantor-Menge"?

7.4.15 Definition:

Eine Teilmenge E heißt Cantor-Menge, falls sie nichtleer, abgeschlossen, perfekt und völlig unzusammenhängend ist. (Perfekt heißt, sie enthält keine isolierten Punkte. Völlig unzusammenhängend heißt, daß jede Zusammenhangskomponente nur aus einem einzigen Punkt besteht.)

7.4.16 Satz:

R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2, z₀ sei ein anziehender Fixpunkt von R. Liegen dann alle kritischen Punkte von R im Becken von z₀, so ist J(R) eine Cantor-Menge.

Der Beweis ist eigentlich gar nicht so schwierig. Aus dem bisher gesagten folgt relativ einfach, daß R nur einen Zykel haben kann, nämlich die Komponente mit dem Fixpunkt. Alle anderen Komponenten von F(R) werden irgendwann dorthinein abgebildet.

Nun nimmt man ein Kompaktum, das die Julia-Menge, aber weder den Fixpunkt, noch einen kritischen Punkt oder einen seiner Bilder enthält. Dann sieht man, daß dessen Urbild in d Komponenten zerfällt, deren Urbilder wiederum usw.. Die Julia-Menge ist der Schnitt all dieser Urbilder.

7.4.17 Übung:

Zeige, daß die Julia-Menge von P(z)=z²+c für |c|>2 eine Cantor-Menge ist.