6 Vorwärts-Iteration von Komponenten der Fatou-Menge

Wir kennen schon einige Arten von vorwärts-invarianten Komponenten der Fatou-Menge: Komponenten, in denen anziehende periodische Punkte liegen, Siegel-Kreisscheiben... In diesem Abschnitt werden wir die vorwärts-invarianten Komponenten der Fatou-Menge vollständig klassifizieren. Hierzu müssen wir natürlich als erstes wissen, wie die Funktion f auf solchen Komponenten operiert. Damit beschäftigt sich der erste Unterabschnitt "Grenzfunktionen".

6.1 Grenzfunktionen auf vorwärts-invarianten Komponenten

6.1.1 Definition:: R sei eine Abbildung, F₀ eine vorwärts invariante Komponente von F(R). Eine Funktion f auf F₀ heißt Grenzfunktion der Familie (Rⁿ), falls es eine Teilfolge gibt, die auf F₀ lokal gleichmäßig gegen f konvergiert. Die Klasse der Grenzfunktionen bezeichnen wir mit $\cal F$ (F₀).

$\cal F$ (F₀) ist nie leer. Jede Funktion f darin ist analytisch. Da F₀ vorwärts invariant ist, liegt f(F₀) im Abschluß von F₀.

Wir beginnen mit folgender simpler Beobachtung:

6.1.2 Lemma:: Enthält $\cal F$ (F₀) eine konstante Grenzfunktion mit Wert z₀, so ist z₀ Fixpunkt von R.

Beweis:: R^k(n) sei eine gegen z₀ konvergierenden Teilfolge, z in F₀ sei beliebig. Es gilt dann

R(z₀) = lim R(R^k(n)(z)) = lim R^k(n)(R(z)) = z₀.

6.1.3 Lemma:: Ist jede Funktion aus $\cal F$ (F₀) konstant, so enthält es nur eine einzige Funktion mit Wert z₀, und Rⁿ(z)-->z₀ lokal gleichmäßig auf F₀.

Beweis:

Ist d der Grad von R, so enthält $\cal F$ (F₀) höchstens d+1 Funktionen, denn mehr Fixpunkte kann R nicht haben.

Zunächst habe eine Grenzfunktion einen Wert z₀ in F₀. Dann gibt es eine Teilfolge R^k(n) und eine Kreisscheibe N um z₀ und ein m in {k(n)}, so daß R^m(N) eine echte Teilmenge von N ist. Nach dem Schwarzschen Lemma gilt dann: |(R^m)'(z₀)|<1. Also ist z₀ ein anziehender Fixpunkt, und $\cal F$ (F₀) kann keine weitere konstante Funktion enthalten.

Nun sollen alle Werte auf $\partial$ F₀ liegen: z₀,...,z_n. Wir wählen disjunkte Umgebungen V_i um die z_i. Außerdem sei K ein zusammenhängendes Kompaktum in F₀, welches zwei Punkte w und R(w) enthält. R(K) hat dann gemeinsame Punkte mit K, R²(K) mit R(K) usw.. Deshalb ist die Vereinigung aller Rⁿ(K) zusammenhängend.

Gäbe es eine Teilfolge R^k(n), so daß jedes R^k(n)(K) Punkte außerhalb der V_i enthält, so könnte keine Teilfolge gegen eines der z_i konvergieren. Also: Für genügend großes n liegt jedes Rⁿ(K) ganz in der Vereinigung der V_i. Die Vereinigung solcher Rⁿ(K) also auch. Diese war aber zusammenhängend. Folglich kann es nur ein einziges V_i geben. Es gibt also nur eine einzige Grenzfunktion.

6.1.4 Satz:: $\cal F$ (F₀) enthalte eine nicht-konstante Funktion g. Dann ist R ein Automorphismus von F₀. Außerdem bildet g F₀ auf sich ab.

Beweis: (Skizze)

Es sei R^k(n)-->g, und w in F₀. Da g nicht konstant ist, hat g(z)-g(w) isolierte Nullstellen auf F₀. Wir betrachten einen Kreis C in F₀ um w, auf dem keine dieser Nullstellen liegt. Da g Grenzfunktion ist, und der Kreis kompakt ist, gilt für genügend große k: |R^k(n)-g(z)|<inf_C|g(z)-g(w)| Nach dem Satz von Rouché haben R^k(n) und g also dieselbe Anzahl von g(w)-Stellen innerhalb des Kreises. Deshalb muß g(w) in F₀ liegen, denn ansonsten könnte R^k(n) keine solchen haben. Also: g bildet F₀ in sich ab.

Nun nehmen wir oBdA an, daß m(k):=k(n)-k(n-1)--> $\infty$ . Wir finden eine konvergente Teilfolge von R^m(k), die, sagen wir, gegen h(z) konvergiert. Nach einigem Nachdenken folgt: h(g(z))=g(z). Da g nicht konstant ist, muß h die Identität sein.

Wenn die Identität eine Grenzfunktion ist, folgt wiederum nach einigem Nachdenken, daß R surjektiv und injektiv sein muß.

Mit der Hilfe dieser Lemmata können wir nun zur Klassifikation der vorwärts-invarianten Komponenten der Fatou-Menge schreiten.

6.2 Klassifikation von vorwärts invarianten Komponenten

6.2.5 Satz:

R sei eine rationale Funktion vom Grad >=2, F₀ eine vorwärts invariante Komponente der Fatou-Menge F(R). Dann trifft genau eine der folgenden Aussagen zu:

(a): F₀ enthält einen super-anziehenden Fixpunkt. Sie heißt dann super-anziehende Komponente.
(b): F₀ enthält einen anziehenden Fixpunkt. Sie heißt dann anziehende Komponente.
(c): $\partial$ F₀ enthält einen rational indifferenten Fixpunkt z und es gilt Rⁿ-->z auf F₀. In diesem Fall heißt F₀ parabolische Komponente oder Lean-Gebiet.
(d): R:F₀-->F₀ ist analytisch konjugiert zu einer euklidischen Rotation der Einheitskreisscheibe auf sich. In diesem Fall ist (das hatten wir schon) F₀ eine Siegel-Kreisscheibe.
(e): R:F₀-->F₀ ist analytisch konjugiert zu einer euklidischen Rotation eines Kreisrings auf sich selbst. F₀ heißt dann Herman-Ring. (Herman ist französisch auszusprechen.)

In den Fällen (d) und (e) hat R unendliche Ordnung. Andernfalls wäre ein Rⁿ konjugiert zur Identität, und dann müßte der Grad von R gleich 1 sein.

Der Beweis dieses Satzes verlangt außer den im letzten Abschnitt bewiesenen Hilfsätzen noch eine Menge Arbeit. Ich werde deshalb hier nur einige interessante Aspekte des Beweises skizzieren.

Zunächst betrachten wir den parabolischen Fall: Es gelte Rⁿ(F₀)--> $\partial$ F₀ in dem Sinne, daß für jedes Kompaktum K $\subset$ F₀ die Mengen Rⁿ(K) und K für fast alle n disjunkt sind. Jede Grenzfunktion bildet dann F₀ nach $\partial$ F₀ ab. Da die Julia-Menge aber ein leeres Inneres hat, ist jede Grenzfunktion konstant. Es gibt also nur ein einzige Grenzfunktion, und diese hat als Wert einen Fixpunkt z₀ von R. Außerdem kann man zeigen, daß R'(z₀)=1. Grob gesagt muß dies so sein, da ansonsten R die Komponente F₀ wegdrehen würde, und nicht auf sich selber abbilden könnte. Der genaue Beweis verlangt aber noch einiges Nachdenken. Hier trifft also der Fall (c) zu.

Nun enthalte $\cal F$ (F₀) nicht-konstante Funktionen. Da J(R) mindestens drei Punkte enthält, ist die universelle Überlagerung von F₀ die Halbebene IH, und es ist F₀=IH/G, wobei G eine Gruppe von Automorphismen von IH ist. Wir wissen schon, daß R ein Automorphismus von F₀ ist, und daß sich die Rⁿ bei der Identität häufen. Die Rⁿ lassen sich liften zu Automorphismen S_n von IH, die sich ebenfalls bei der Identität häufen. Da G diskret ist, müssen S_n mit beliebig großen n mit den Elementen von G kommutieren. Man weiß ziemlich gut, wie die Elemente von G aussehen können (grob gesagt sind es Möbiustransformationen der Form z-->z+t oder z-->kz). Wenn man das alles zusammennimmt, kommt heraus, daß G zyklisch ist, und damit F₀ einfach oder doppelt zusammenhängend, und daß R als Drehung um einen irrational indifferenten Fixpunkte operiert.

Bis auf bei den Herman-Ringen wissen wir schon um die Existenz solcher Komponenten. Man kann zeigen, daß auch Herman-Ringe existieren.

6.3 Sullivans Satz über wandernde Gebiete

In diesem Abschnitt werde ich ganz ohne Beweis ein neueres Ergebnis vorstellen.

6.2.6 Definition:

Eine Komponente F₀ der Fatou-Menge F(R) heißt

(a): periodisch, falls es ein n>=1 mit Rⁿ(F₀)=F₀ gibt,
(b): prä-periodisch, falls ein Rⁿ(F₀) periodisch ist, F₀ selber aber nicht.
(c): wandernd, falls die Mengen Rⁿ(F₀) paarweise disjunkt sind.

Schon Fatou fragte sich, ob wandernde Gebiete überhaupt existieren. In den Fatou-Mengen von ganzen Funktionen können sie auch tatsächlich existieren. Für ein schönes Beispiel s. [Baker]! Für rationale Funktionen dagegen wurde 1983 bewiesen:

6.3.7 Satz (Sullivans Satz über wandernde Gebiete):: Fatou-Mengen von rationalen Funktionen besitzen keine wandernden Gebiete.

Der Beweis ist bei weitem zu umfangreich, um ihn auch nur ansatzweise skizzieren zu können. Er erfolgt z.B., indem man zuerst mittels eines wandernden Gebietes einen Beltrami-Koeffizienten auf ${\bf\hat C}$ erzeugt, dessen Beltrami-Gleichung löst, und mit Hilfe der so erzeugten quasikonformen Abbildungen einen Widerspruch herbeiführt. Es gibt inzwischen aber mehrere Beweise dieses Satzes.

Mit Hilfe dieses Satzes kennen wir die Dynamik auf allen Komponenten der Fatou-Menge. Denn jede Komponente landet schließlich in einem Zykel von Komponenten, die von R aufeinander abgebildet werden, d.h. vorwärts invariant unter einem Rⁿ sind. Diese Zykel lassen sich deshalb entsprechend 6.2.5 klassifizieren.