5 Fixpunkte und Periodische Punkte

5.1 Klassifikation periodischer Punkte

Wir hatten in einer Übung schon anziehende und abstoßende Fixpunkte kennengelernt. Hier wird diese Einteilung nun verfeinert und auf periodische Punkte übertragen und vervollständigt.

5.1.1 Definition:

Es sei z ein Fixpunkt einer holomorphen Funktion f. Dann heißt z

(a): super-anziehender Fixpunkt, falls f'(z)=0.
(b): anziehender Fixpunkt, falls |f'(z)|<1.
(c): abstoßender Fixpunkt, falls |f'(z)|>1.
(d): rational indifferenter Fixpunkt, falls f'(z) eine Einheitswurzel ist.
(e): irrational indifferenter Fixpunkt, falls |f'(z)|=1, aber f'(z) keine Einheitswurzel ist.

Ein super-anziehender Fixpunkt ist also auch immer anziehend. Ist ein Fixpunkt rational oder irrational indifferent, so sagen wir auch kurz "indifferent".

5.1.2 Definition:: Ein Punkt z heißt periodischer Punkt einer rationalen Funktion R falls z Fixpunkt eines R^m ist. Für einen solchen Punkt gibt es ein n>=0, so daß z,R(z),...,R^n-1(z) paarweise verschieden sind, aber Rⁿ(z)=z. Die Menge (z,R(z),...,R^n-1(z)) heißt Zykel von z, und n die Periode von z.

Wegen der Kettenregel ist die Ableitung von Rⁿ an einem periodischen Punkt mit Periode n genau das Produkt der Ableitungen von R an den Punkten seines Zykels. Insbesondere hat Rⁿ an allen Punkten eines Zykels dieselbe Ableitung. Wir können also die Klassifikation für Fixpunkte auf periodische Punkte erweitern:

5.1.3 Definition:: Ein periodischer Punkt z mit Periode n der Funktion R heißt super-anziehend, anziehend, abstoßend, rational indifferent oder irrational indifferent, je nachdem, was z für ein Fixpunkt von Rⁿ ist.

Da die Julia-Menge und die Fatou-Menge von R und von Rⁿ übereinstimmen, gibt es überhaupt nicht sehr viele Unterschiede zwischen periodischen Punkten und Fixpunkten. Meistens gilt ein Satz auch für periodische Punkte, wenn er für Fixpunkte gilt, und umgekehrt. Lediglich einige Konstanten muß man manchmal anpassen.

5.1.4 Übung:: Man zeige, daß die Klassifikation von Fixpunkten und von periodischen Punkten unter Konjugation erhalten bleibt.

5.1.5 Definition:: Ein Punkt z heißt präperiodisch unter einer rationalen Funktion R, falls er selber nicht periodisch ist, aber ein Rⁿ(z) periodisch ist.

5.1.6 Übung:: Z=(z₁,...,z_n) sei ein Zykel eines periodischen Punktes der rationalen Funktion R. Man zeige, daß R^-1(Z) entweder präperiodische Punkte enthält, oder Z invariant ist, höchstens 2 Punkte enthält, und in der Fatou-Menge F(R) liegt.

Periodische Punkte existieren (fast immer). Ohne Beweis bringe ich hier ein Ergebnisse:

5.1.7 Satz:: R sei eine rationale Funktion vom Grad d>=2, die keine periodischen Punkte der Periode n habe. Dann ist (d,n) eines der folgenden Paare: (2,2), (2,3), (3,2), (4,2).
Ist R sogar ein Polynom, so ist n=2 und R ist konjugiert zu z²-z.

In den folgenden Abschnitten werden wir uns nun damit beschäftigen, wie die Julia- und die Fatou-Menge in der Nähe von periodischen Punkten der einen oder anderen Art aussieht.

5.2 Anziehende periodische Punkte

5.2.8 Satz:: (z₁,...,z_q) sei ein anziehender Zykel einer rationalen Funktion R. Dann liegt jedes z_i in einer Komponente F_i der Fatou-Menge F(R), und für n gegen Unendlich konvergiert R^qn lokal gleichmäßig auf F_i gegen z_i.

Der Beweis, der hier nicht gebracht wird, erfolgt, indem man zeigt, daß R^q in einer Umgebung des Fixpunktes (der oBdA als 0 angenommen wird) konjugiert zu einer Abbildung z-->az mit |a|<1 ist.

Julia-Menge von (z^3+0,7(1+i))/(0,92z^2+2)

Julia-Menge von (z³+0,7(1+i))/(0,92z²+2), dargestellt auf [-2,75;2,75]x[-2;2]. Die Funktion hat anziehende Fixpunkte in 0 und $\infty$ .

5.3 Abstoßende periodische Punkte

5.3.9 Satz:: R sei eine beliebige rationale Funktion. Dann liegt jeder abstoßender Zykel in der Julia-Menge J(R).

Dies wurde schon als Übung bewiesen (2.2.10.).

Julia-Menge von (z^3+0,71(1+i))/(0,92z^2+2)

Julia-Menge von (z³+0,71(1+i))/(0,92z²+2), dargestellt auf [-2,75;2,75]x[-2;2]. Die Funktion hat einen abstoßenden Fixpunkt bei 0 und einen anziehenden bei $\infty$ .

5.4 Rational indifferente periodische Punkte

Jetzt kommen wir zu den interessanteren Fällen der indifferenten Zykel. Leider werden hier auch die Beweise so lang und so kompliziert, daß ich sie im Rahmen einer Web-Seite weniger und weniger bringen kann.

5.4.10 Satz:: R sei eine rationale Funktion vom Grad >=2, dann liegt jeder rational indifferente Zykel in J(R).

Beweis:

Zunächst sei z ein rational indifferenter Fixpunkt und oBdA z=0. Es ist R(z)=az+bz^r+..., wobei b<>0, r>=2 und a^k=1. Die Entwicklung der Funktion S=R^k fängt dann an mit z+cz^p, mit p>=2, und c kann nicht Null sein, denn S kann nicht die Identität sein.

Via Induktion zeigt mal leicht, daß Sⁿ=z+ncz^p+... Die p. Ableitung der Sⁿ konvergiert also in 0 gegen Unendlich. Deshalb kann die Familie (Sⁿ) dort nicht normal sein. Der Nullpunkt muß in der Julia-Menge von S, und damit von R liegen.

Für Zykel anstatt von Fixpunkten folgt die Behauptung nun sofort.

Wir können in diesem Fall noch viel mehr sagen, indem wir uns das lokale Verhalten von Funktionen in der Nähe von rational indifferenten Fixpunkten anschauen.

5.4.11 Definition:: Für positives t in IR und p in IN definieren wir für jedes k in {0,1,...,p-1} die Menge

$\Pi_k(t):=\{re^{i\phi}\mid r^p<t(1+\cos(p\theta))\mbox{ mit } \vert\frac{2k\pi}{p}-\theta\vert <\frac{\pi}{p}\}$

Diese Mengen nennen wir Petalen oder Blütenblätter. Sie sind (bei festem p und t) paarweise disjunkt und jede umfaßt im Ursprung einen Winkel von 2Pi/p. Die Symmetrielinie von $\Pi_k$ , d.h. die Gerade $\theta=\frac{2k\pi}{p}$ heißt Achse von $\Pi_k$ .

Das Bild rechts zeigt die 5 Blütenblätter für p=5.

Der Hauptsatz dieses Abschnitts ist der folgende:

5.4.12 Satz (Blütenblättersatz)

R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2, (z₁,...,z_m) ein rational indifferenter Zykel. Der Multiplikator von R^m bei jedem Punkt des Zykels sei 2Pi*(r/q), wobei ggT(r,q)=1.

Dann gibt es ein k in IN und kmq verschiedene Komponenten F₁,...,F_kmq der Fatou-Menge F(R), so daß bei jedem z_i genau kq dieser Komponenten liegen, die dabei ein Blütenblatt mit dem Winkel 2Pi/(kq) enthalten.

R operiert als Permutation t auf {F₁,...,F_kmq}, wobei t eine Komposition von k disjunkten Zykeln der Länge mq ist, und ein Blütenblatt bei z_i immer auf eines bei z_i+1 abbildet.

Der Grund liegt im lokalen Verhalten von Funktionen in der Nähe von rational indifferenten Fixpunkte:

5.4.13 Satz:

f sei analytisch und habe die Taylor-Entwicklung f(z)=z-z^p+1+O(z^2p+1) beim Ursprung. Dann gilt für genügend kleine t:

(a): f bildet das Blütenblatt $\Pi_k$ (t) in sich selber ab.
(b): fⁿ(z)-->0, und zwar gleichmäßig auf jedem Blütenblatt (n--> $\infty$ ).
(c): arg(fⁿ(z))-->2Pi*(k/p), und zwar lokal gleichmäßig auf $\Pi_k$ (n--> $\infty$ ).
(d): |f(z)|<|z| auf einer Umgebung der Achse jedes Blütenblattes.
(e): f: $\Pi_k$ (t)--> $\Pi_k$ (t) ist konjugiert zu einer Translation.

Wegen (a) sind die fⁿ auf den einzelnen Blütenblättern definiert.

lokales Verhalten von f in einer Petale

Lokales Verhalten von z+z^p+1 in einem Blütenblatt.

Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen. Für die Konjugation zur Translation muß man lediglich mittels z-->1/z den Ursprung ins Unendliche bringen.

Als Verbindung zwischen den beiden Sätzen fungiert folgendes Lemma:

5.4.14 Lemma:: f sei analytisch bei 0 und es gelte: f(z)=z+az^p+1+O(z^p+2) mit a<>0. Dann ist f lokal konjugiert zu einer Abbildung F(z)=z-z^p+1+O(z^2p+1).

Beweis: (Skizze): Via einer Konjugation mit z--> $\lambda$ z bekommt man das a weg. Via Konjugationen mit z-->z+bz^r+1 (1<=r<=p) bei passendem b bekommt man die überflüssigen Potenzen von z weg.

5.4.15 Übung:: Es sei P(z)=-z+z^p+1. Wieviele Blütenblätter hat P in der Nähe des Ursprungs?

Julia-Menge von z^14-z

Julia-Menge von f(z)=z¹⁴-z, dargestellt auf [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2].

5.5 Irrational indifferente Punkte

Irrational indifferente Punkte können sowohl in der Julia- als auch in der Fatou-Menge liegen. Das Kriterium ist das folgende:

5.5.16 Definition:: Eine holomorphe Abbildung f heißt linearisierbar bei einem Fixpunkt z₀, falls f in einer Umgebung von z₀ konjugiert ist zu f₀(z)=z₀+(z-z₀)f'(z₀).

5.5.17 Satz:: Es sei z₀ ein indifferenter Fixpunkt einer rationalen Funktion R. Dann ist R in z₀ genau dann linearisierbar, wenn z₀ in F(R) ist.

Beweis:

Ist R linearisierbar, so ist die Funktionenfamilie Rⁿ offensichtlich normal in einer Umgebung von z₀. Deshalb ist z₀ in F(R).

Nun sei z₀ in F(R), und oBdA z₀=0. Es gibt also eine Umgebung, auf der die Familie (Rⁿ) gleichgradig stetig ist. Insbesondere existiert eine Umgebung N, so daß für alle n in IN: |Rⁿ(z)|=|Rⁿ(z)-Rⁿ(z₀)|<1 ist.

Es sei a=R'(0), d.h. |a|=1. Für n>0 definieren wir eine Funktion T_n durch

$T_n(z)= \frac{1}{n}\left(z+\frac{R(z)}{a}+\ldots,+\frac{R^{n-1}(z)}{a^{n-1}}\right).$

T_n ist also das arithmetische Mittel der ersten n Iterierten. Wegen (R^k)'(0)=a^k gilt: T_n'(0)=1. Außerdem gilt auf N:

|T_n(z)|<=(1/n)*(|z|+|R(z)|+...+|R^n-1(z)|)<= 1.

Weiterhin erfüllen die Funktionen T_n die Rekursionsformel (n/a)T_n(R(z))+z= (n+1)T_n+1(z)+Rⁿ(z)/aⁿ. Wegen |a|=1 und Rⁿ(z)<1 auf N gilt mit Hilfe dieser Formeln: T_n(R(z))-aT_n(z)--<0, und zwar gleichmäßig auf N.

|T_n(z)|<1 ist (T_n) normal auf N. Eine Teilfolge der T_n konvergiert also gegen eine holomorphe Funktion g mit g(R(z))=ag(z). Außerdem gilt g'(0)=1. Deshalb kann g nicht konstant sein. Dies bedeutet nichts anderes, als daß R linearisierbar ist, und zwar via der Funktion g.

Wir haben es in den betreffenden Kapiteln nicht gezeigt, aber ist z ein Fixpunkt einer Abbildung f mit |f'(z)|<>1, so ist f linearisierbar. Hieraus folgt auch nocheinmal unmittelbar, daß anziehende Fixpunkte in der Fatou-Menge liegen, und abstoßende in der Julia-Menge. Im letzten Abschnitt dann haben wir gesehen, daß rational indifferente Punkte immer in der Julia-Menge liegen, und es hat einige Mühe gemacht (der Beweis fehlte in diesem Skript), überhaupt einige Potenzen aus der Taylor-Entwicklung wegzukonjugieren. Wir sehen hier, daß Funktionen bei rational indifferenten Punkten nicht linearisierbar sind. Bei den irrational indifferenten Fixpunkten werden wir sehen, daß es tatsächlich sowohl welche in F als auch in J geben kann. Im Rest des Abschnitts bringe ich einige Sätze hierzu ohne Beweis, oder mit sehr kurzen Beweisskizzen.

5.5.18 Satz und Definition:: R sei eine rationale Abbildung von Grad >=2, z sei ein indifferenter Fixpunkt, der in einer Komponente F₀ von F(R) liegt. Dann ist F₀ einfach zusammenhängend und R:F₀-->F₀ ist analytisch konjugiert zu einer Rotation unendlicher Ordnung der Einheitskreisscheibe. Eine solche Komponente heißt Siegel-Kreisscheibe (nach C.L.Siegel).

5.5.19 Satz:: S sei die Menge der Zahlen a mit |a|=1, und für die es M, k gibt, so daß für alle n in IN: 1/|aⁿ-1|<=Mn^k. Dann ist jede holomorphe Funktion mit Taylor-Entwicklung f(z)=az+... linearisierbar im Ursprung. Außerdem hat die Menge S das Maß 2Pi im Einheitskreis.

Es gibt also Siegel-Kreisscheiben, und im Sinne der Maßtheorie ist es für einen indifferenten Fixpunkt sogar viel wahrscheinlicher, daß er in einer Siegel-Kreisscheibe, als in der Julia-Menge liegt.

5.5.20 Satz:: P sei ein Polynom P(z)=az+...+z^d mit d>=2 und |a|=1. a sei keine Einheitswurzel, und es gebe unendlich viele natürliche Zahlen n mit |aⁿ-1|<=1/n^{d^n-1}. Dann in der Ursprung ein irrational indifferenter Fixpunkt von P, der in der Julia-Menge J(P) liegt.

Beweis:

Für n in IN sei N=dⁿ-1, und 0,z₁,...,z_N seien die N+1 Fixpunkte von Pⁿ, und zwar geordnet mit 0<|z₁|<=...<=|z_N| Es ist also:

Pⁿ(z)-z = (a^N-1)z+...+z^N+1 = z(z-z₁)·...·(z-z_N).

Da die Fixpunkte geordnet sind, folgt aus der Voraussetzung und dem geometrischen Mittel: |z₁|<= |z₁·...·z_N|^1/N =|a^N-1|^1/N<=1/N.

Dies bedeutet nichts anderes, als daß es periodische Punkte (hier z₁) beliebig nahe beim Ursprung gibt. Wenn nun der Ursprung aber in der Fatou-Menge liegen würde, dann wäre die Funktion nach Satz 5.5.17. linearisierbar, und es könnte keine solchen periodischen Punkte geben, außer wenn a eine Einheitswurzel wäre.

Auch dieser Satz sagt noch nichts über die Existenz von solchen Punkten. Denn gibt es überhaupt eine Zahl a, die eine Bedingung wie im Satz erfüllt? Die Antwort is "Ja". Mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung kann man solche Zahlen konstruieren. Ohne dies weiter auszuführen kann man sagen, daß die Kettenbruchkoeffizienten "genügend" schnell wachsen müssen.

5.5.21 Bemerkung:: Auch in der Nähe von irrational indifferenten Fixpunkten in der Julia-Menge operieren die Funktionen "ungefähr" wie eine Drehung. Die Berechnungen für graphische Darstellungen von solchen Mengen sind also häufig extrem schlecht konditioniert. Deshalb gibt es hier auch keine Bilder von solchen Mengen.

5.6 Periodische Punkte und die Julia-Menge

Auch in diesem Abschnitt gibt es nur ein einziges Ergebniss ohne Beweis. Dieser ist allerdings auch nicht besonders schwierig.

5.6.22 Satz:

R sei eine rationale Funktion vom Grad >=2. Dann gilt:

(a): J(R) ist die Menge der Häufungspunkte der Menge der periodischen Punkte von R.
(b): J(R) ist der Abschluß der Menge der abstoßenden periodischen Punkte von R.