4 Die Komponenten der Fatou- und der Julia-Menge

Wenn im folgenden von einer Komponente die Rede ist, ist immer eine Zusammenhangskomponente gemeint. Da wir hier den einfachen Fall von offenen Teilmengen der Sphäre betrachten, bedeutet "k-fach zusammenhängend" nichts anderes, als daß der Rand aus k Zusammenhangskomponenten besteht. Einfach zusammenhängende Mengen sind also nichts weiter als welche, deren Rand zusammenhängend ist. Das Komplement einer k-fach zusammenhängende Menge besteht aus k Komponenten.

Wir werden solche anschaulich mehr oder weniger klare topologische Sachverhalte in diesem Abschnitt ohne Beweis benutzen. (Topologen, verzeiht mir!)

4.1 Invariante Komponenten der Fatou-Menge

4.1.1 Satz:

R sei eine rationale Abbildung mit Grad >=2, und F₀ invariante Komponente der Fatou-Menge F(R). Dann gilt:

(1): $\partial$ F₀=J.
(2): F₀ ist entweder einfach zusammenhängend oder unendlich zusammenhängend.
(3): Alle anderen Komponenten von F sind einfach zusammenhängend.
(4): F₀ ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn J zusammenhängend ist.

Beweis:

(1): Da F₀ invariant ist, ist es auch sein Rand. Wegen der Minimalität der Julia-Menge (3.4.8.) ist damit J $\subset$ $\partial$ F₀. Da die andere Richtung auch gilt, sind die beiden Mengen gleich.
(2): F₀ sei c-fach zusammenhängend (mit c< $\infty$ ). Die Komponenten des Komplementes von F₀ seien E₁,...,E_c. Nach Proposition 2.3.15. gibt es ein m, so daß jedes E_i invariant unter R^m ist. Da J unendlich ist, ist auch eines der E_i, sagen wir das E₁, unendlich. Wegen der Minimalität von J(R^m) und Proposition 2.2.8. ist damit J(R)=J(R^m) $\subset$ E₁.
Nach (1) enthält aber jedes E_i Punkte von J(R). Das kann nur sein, wenn c=1 ist.
(3): Wegen (1) ist J $\cup$ F₀ genau der Abschluß von F₀. Mit F₀ ist damit auch J $\cup$ F₀ zusammenhängend. Eine geschlossene Menge ist aber genau dann zusammenhängend, wenn jede Komponente ihres Komplementes einfach zusammenhängend ist.
(4): Dies folgt ebenfalls sofort aus der Tatsache, daß eine geschlossene Menge genau dann zusammenhängend ist, wenn jede Komponente ihres Komplementes einfach zusammenhängend ist.

4.2 Die Anzahl der invarianten Komponenten der Fatou-Mengen

4.2.2 Satz:: Die Fatou-Menge einer rationalen Abbildung R mit Grad >=2 enthält höchstens zwei invariante Komponenten. Falls es zwei solche gibt, so sind sie einfach zusammenhängend.

Beweis:: Dies folgt so ziemlich sofort aus der allgemeinen Riemann-Hurwitz-Formel 1.5.7., wenn man bedenkt, daß es insgesamt genau 2d-2 kritische Punkte gibt, und in jeder invarianten Komponente F₁ genau (d-1)e(F₁) kritische Punkte liegen, wobei e(F₁) die Euler-Charakteristik ist.

4.2.3 Korollar:: Die Fatou-Menge einer rationalen Abbildung R besteht aus genau 0,1,2 oder unendlich vielen Komponenten.

Beweis:: Für Grad 1 sieht man dies unmittelbar. Es sei also Grad >=2 und F bestehe aus endlich vielen Komponenten F₁,...,F_k. Nach Proposition 2.3.15. gibt es ein m, so daß jedes F_i invariant unter R^m ist. Nach dem vorigen Satz, angewandt auf R^m, folgt k<=2.

4.2.4 Übung:: Es sei f(z)=z²-1. Zeige, daß 0, -1 und $\infty$ anziehende Fixpunkte sind. Schließe, daß F(f) unendlich viele Komponenten hat.

4.3 Die Anzahl der Komponenten der Julia-Menge

4.3.5 Satz:: R sei eine rationale Abbildung mit Grad >=2, dann ist J(R) entweder zusammenhängend, oder besteht aus unendlich vielen Komponenten.

Beweis:: J bestehe aus endlich vielen Komponten J₁,...,J_k. Da J unendlich groß ist, ist es mindestens eines dieser J_i, sagen wir J₁, auch. Außerdem gibt es wieder ein m, so daß jedes J_i invariant unter R^m ist. Wegen der Minimalität der Julia-Menge folgt J(R)=J(R^m)=J₁, und damit ist J zusammenhängend.

Mit ein bißchen mehr Mühe kann man noch zeigen, daß, wenn J aus unendlich vielen Komponenten besteht, es aus überabzählbar vielen Komponenten besteht, und jeder Punkt von J Häufungspunkt von Komponenten ist. (D.h. in jeder Umgebung jedes Punktes aus J liegen unendlich viele Komponenten von J.)