3 Eigenschaften der Julia-Menge

3.1 Orbits

Bevor wir zu den beiden Hauptergebnissen dieses Kapitels kommen, müssen wir uns erst mal noch weiter mit invarianten Mengen beschäftigen.

Es sei wieder g:X-->X eine Abbildung, und x in X. Wie sieht die kleinste invariante Menge aus, die x enthält? Nun, offensichtlich muß sie alle Bilder von x und alle deren Urbilder enthalten. Dies führt zu folgender Definition:

3.1.1 Satz und Definition:: g:X-->X sei eine Funktion. Durch

$x\sim y \Leftrightarrow \exists n,m\in N: g^n(x)=g^m(y)$

wird eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklasse [x] von x heißt Orbit von x.

Beweis:: Symmetrie und Reflexivität der Relation sind sofort klar. Bleibt nur noch die Transitivität:

gⁿ(x)=g^m(y) und g^p(x)=g^q(z) ==> g^n+p(x)=g^m+q(z).

Aus der Beobachtung, daß die Vereinigung und der Schnitt von invarianten Teilmengen abermals invariant ist, folgt, daß es eine kleinste invariante Teilmenge gibt, die x enthält.

3.1.2 Proposition:: Es sei g:X-->X surjektiv. Dann ist [x] die kleinste invariante Teilmenge von X, die x enthält.

Beweis:: Die kleinste invariante Teilmenge <x>, die x enthält, enthält sicher alle seine Bilder und alle deren Urbilder. Ist deshalb g^m(y)=gⁿ(x) und damit y in g^-m(gⁿ(x)), so ist auch y in <x>. Also ist [x] eine Teilmenge von <x>.
Andererseits überlegt man sich leicht, daß [x] invariant unter g ist. Wegen der Minimalitätseigenschaft von <x> ist dann auch <x> Teilmenge von [x].

3.1.3 Lemma:: Ist R eine rationale Abbildung von Grad >=2, und ist [x] endlich, dann enthält [x] höchstens zwei Elemente.

Beweis:: Die Anzahl der Elemente von [x] sei k. Da R die Elemente von [x] permutiert, gibt es ein n in IN mit Rⁿ|_[x]=id_[x]. Rⁿ habe den Grad d. Für w in [x] hat die Gleichung Rⁿ(z)=w genau d Lösungen (gezählt mit Mulitplizität). Alle diese Lösungen müssen w selber sein: w ist eine d-fache w-Stelle von Rⁿ. Nach der Riemann-Hurwitz-Formel (1.5.6) angewandt auf Rⁿ gilt dann: k(d-1)<=2d-2. Wegen d>=2 folgt k<=2.

3.2 Ausnahmepunkte

3.2.4 Definition:: R sei eine rationale Funktion. Ein Punkt z heißt Ausnahmepunkt für R, falls sein Orbit [x] endlich ist. Die Menge der Ausnahmepunkte bezeichnen wir mit E(R) ("E" für "exzeptionell").

3.2.5 Satz:

Eine rationale Abbildung R vom Grad >=2 hat höchsten zwei Ausnahmepunkte. Und zwar gilt:

(1): Ist E(R)={z}, so ist R konjugiert zu einem Polynom, und z korrespondiert mit dem Punkt $\infty$ .
(2): Ist E(R)={z₁,z₂}, so ist R konjugiert zu einer Abbildung z-->z^d (d in Z), und z₁ und z₂ korrespondieren mit den Punkten 0 und $\infty$ .

Beweis:

Nach einer geeigneten Konjugation können wir wegen Lemma 3.1.3. einen der vier folgenden Fälle für E(R) annehmen:

(a): Ist E(R) leer, so ist nichts zu zeigen.
(b): E(R) besteht nur aus dem Punkt $\infty$ , d.h. insbesondere R^-1( $\infty$ )={ $\infty$ }, d.h. R hat keine Pole in C und ist damit ein Polynom.
(c): E(R) enthält (mindestens) zwei Punkte 0 und $\infty$ , deren Orbits nur aus einem Punkt bestehen. Dann ist R ebenfalls ein Polynom, und zwar mit einer Nullstelle maximalen Grades bei 0. Deshalb hat es die Form z-->z^d (d>=1). Diese Abbildungen besitzen keine weiteren Ausnahmepunkte.
(d): E(R) enthält (mindestens) zwei Punkte 0 und $\infty$ , die einen gemeinsamen Orbit aus zwei Punkten haben. In diesem Fall ist R(0)= $\infty$ und R( $\infty$ )=0 und beide Stellen sind von maximaler Multiplizität. Deshalb hat R die Form z-->z^d (d<=-1). Diese Funktionen besitzen keine weiteren Ausnahmepunkte.

Es folgt sofort:

3.2.6 Korollar:: Ausnahmepunkte liegen in der Fatou-Menge.

3.3 Unendlichkeit der Julia-Menge

3.3.7 Satz:: R sei eine rationale Abbildung von Grad >=2. Dann ist J(R) eine unendliche Menge.

Beweis:: Wäre J leer, so wäre {Rⁿ} normal. Nach Satz 2.1.4. können wir eine gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen. Diese würde gegen eine auf ${\bf\hat C}$ meromorphe und damit rationale Funktion konvergieren. Das bedeutet, daß fast alle Rⁿ denselben Grad haben müßten, nämlich den der Grenzfunktion. (Genauer?) Wegen deg(Rⁿ)=n·deg(R) folgt, daß R den Grad 1 hat. Ein Widerspruch.
J enthält also einen Punkt z, und damit auch seinen Orbit [z]. Wäre J endlich, so wäre z ein Ausnahmepunkt. Aber Ausnahmepunkte liegen in der Fatou-Menge (Korollar 3.2.6.). Also muß J unendlich sein.

3.4 Minimalität der Julia-Menge

Bisher gab es nur einige Spielereien. Dies hier dagegen ist eine der ganz zentralen Aussagen in der Theorie der Julia-Mengen, die uns den ganzen Rest des Texten ständig begleiten wird.

3.4.8 Satz (Minimalität der Julia-Menge)

R sei eine rationale Abbildung vom Grad >=2, E sei eine abgeschlossene, invariante Teilmenge von ${\bf\hat C}$ . Dann gilt eine der beiden folgenden Aussagen:

(1): E hat höchstens zwei Elemente und es ist E $\subset$ F(R).
(2): E hat unendlich viele Elemente und es ist J(R) $\subset$ E.

Anders ausgedrückt: J(R) ist die kleinste abgeschlossene, invariante Menge, die mindestens 3 Punkte enthält.

Beweis:: Ist E endlich, so enthält es nur Ausnahmepunkte und die Behauptung folgt aus Satz 3.2.5. und Korollar 3.2.6..
Nun habe E unendlich viele Elemente. Mit E ist auch sein Komplement K invariant. Wählen wir drei Punkte a,b,c in E, so werden diese von den Funktionen Rⁿ auf K nicht als Funktionswerte angenommen. Nach dem Satz von Montel (2.1.5)) ist {Rⁿ} normal auf K. Also ist K eine Teilmenge von F und damit J eine Teilmenge von E.

3.4.9 Korollar:: Es gilt entweder J= ${\bf\hat C}$ , oder J° ist leer. (J hat kein Inneres.)

Beweis:: Da J invariant ist, sind es auch J° und $\partial$ J. Ist F nicht leer, dann ist F $\cup$ $\partial$ J unendlich, invariant und abgeschlossen. Es folgt J $\subset$ F $\cup$ $\partial$ J und damit J $\subset$ $\partial$ J

Funktionen, deren Julia-Menge ganz ${\bf\hat C}$ ist, gibt es. Wir werden uns ganz kurz in Abschnitt 3.7 mit ihnen beschäftigen.

3.4.10 Korollar:: J ist eine perfekte Menge, d.h. sie ist unendlich, und jeder Punkt in J ist Häufungspunkt von Punkten von J. (Es gibt also keine isolierten Punkte.)

Beweis:: J₀ sei die Menge der Häufungspunkte. Da J unendlich viele Punkte enthält, und ${\bf\hat C}$ kompakt ist, ist J₀ nicht leer. J₀ ist nach Definition abgeschlossen. Da R stetig ist, gilt R(J₀) $\subset$ J₀. und damit J₀ $\subset$ R^-1(J₀). Wegen der Gebietstreue von R ist auch R^-1(J₀) $\subset$ J₀. J₀ ist also invariant.
Wegen Satz 3.4.8 ist damit J $\subset$ J₀. Damit sind die beiden Mengen gleich.

3.4.11 Korollar:: Ist z kein Ausnahmepunkt, so ist J im Abschluß von [z] enthalten. Ist z in J, so sind diese beiden Mengen sogar gleich.

Beweis:: Ist sehr einfach und wird dem Leser überlassen.

3.4.12 Bemerkung:: Es ist nicht allzu schwierig, sogar noch mehr zu zeigen: Ist z kein Ausnahmepunkt, so ist die Julia-Menge genau die Menge, gegen die sich der Rückwärts-Orbit von z (d.h. die Menge aller Urbilder R^-n(z)) häuft.
Dies macht man sich häufig in Programmen zunutze, indem man, um die Julia-Menge zu finden, einfach rückwärts iteriert. Es gibt bei diesem Verfahren jedoch Probleme: Oft gibt es Stellen in der Julia-Menge, in dessen Nähe die Rückwärtsorbits äußerst spärlich sind.

3.4.13 Übung:: Man zeige, daß die Julia-Menge von f(z)=z²-2 genau das reelle Intervall [-2;2] ist. (Anleitung: Zunächst zeige man, daß [-2;2] invariant unter f ist. Aus wievielen Komponenten besteht deshalb die Fatou-Menge? Man schließe, daß die fⁿ auf F kompakt gleichmäßig gegen $\infty$ konvergieren. Was folgt daraus für Punkte im Intervall [-2;2]?)

3.4.14 Übung:: f sei ein Produkt von Automorphismen der Einheitskreisscheibe. Man zeige, daß die Julia-Menge von f eine Teilmenge des Einheitskreises ist. Ist, falls f ein Produkt von mindestens zwei Automorphismen ist, die Julia-Menge immer der ganze Einheitskreis?

3.4.15 Übung:: p sei ein Polynom mit nur reellen Nullstellen. Man zeige, daß die Julia-Menge der Funktion f(z)=p'(z)/p(z), also der logarithmischen Ableitung von p, reell ist.

3.5 Periodische Punkte

3.5.16 Definition:: f sei eine Abbildung einer Menge X in sich. x in X heißt periodischer Punkt von f, falls es ein n in IN gibt, so daß x Fixpunkt von fⁿ ist.

3.5.17 Satz:: R sei eine rationale Funktion mit Grad >=2. Dann ist J(R) im Abschluß der Menge der periodischen Punkte von R enthalten. Insbesondere hat jedes R unendlich viele periodische Punkte.

Beweis:

Zu zeigen ist, daß jede offene Menge N, die J trifft, periodische Punkte enthält. Wähle einen Punkt w₀ in J $$\cap$ N, der kein kritischer Punkt von R² ist. Wegen deg(R)>=2 gibt es mindestens 4 verschiedene Punkte in R^-2(w₀), und darunter mindestens 3 Punkte w₁, w₂, w₃ verschieden von w₀ selber. Man nehme nun Umgebungen N_i von w_i mit disjunktem Abschluß, so daß N₀ $\subset$ N, und so daß R²:N_i-->N₀ für i>1 homöomorph ist. S_i:N₀-->N_i sei das Inverse von R² auf N_i

Gäbe es in N₀ ein z mit Rⁿ(z)=S_j(z) für ein n und ein j in {1,2,3}, so wäre Rⁿ⁺²(z)=z und z wäre periodisch. Wir zeigen nun, daß, wenn dies nicht der Fall ist, die Rⁿ normal auf N₀ sein müssen, was ein Widerspruch wäre.

Wir nehmen also an, daß stets Rⁿ(z)<>S_j(z) gilt, und definieren zu jedem z in N₀ die Möbiustransformation g_z mit g_z(0)=S₁(z), g_z(1)=S₂(z) und g_z( $\infty$ )=S₃(z). Da die Mengen N₁, N₂, N₃ positiven Abstand voneinander haben, erfüllen alle diese g_z nach Satz 1.3.2. eine gemeinsame Lipschitz-Bedingung. Die Funktionenfamilie (Rⁿ) ist also genau dann normal, wenn (g_z^-1Rⁿ) normal ist. Letztere Funktionenfamilie nimmt aber nun die Werte 0, 1 und $\infty$ nicht mehr an und ist nach dem (Satz von Montel (2.1.5)) normal.

3.6 Die Julia-Menge kommutierender Abbildungen

3.6.18 Satz:: Die Julia- und Fatou-Mengen von kommutierenden rationalen Abbildungen mit Graden >=2 sind identisch.

Beweis:

R und S seien die beiden Abbildungen mit RS=SR. M sei eine Lipschitz-Konstante von S bzgl. der sphärischen Metrik: d_s(S(z), S(w))<=M·d_s(z,w).

Nun sei w in F(R). Nach Definition von F(R) gibt es zu $\epsilon$ >0 ein $$\delta$ >0 mit diam(Rⁿ(B(w, $$\delta$ )))< $\epsilon$ /M, wobei B(w, $$\delta$ ) der $$\delta$ -Ball (bzgl. d_s) um w ist.

Da R und S kommutieren, folgt:

diam(RⁿS(B(w, $$\delta$ )))= diam(SRⁿ(B(w, $$\delta$ )))<= M·diam(Rⁿ(B(w, $$\delta$ )))< $\epsilon$

Also ist die Familie (Rⁿ) normal auf S(B(w, $$\delta$ )). Insbesondere ist S(w) in F(R). S und damit jedes S^m bilden also F(R) in sich ab. Wegen dem Satz von Montel (2.1.5) ist (Sⁿ) deshalb normal auf F(R). Es folgt: F(R) $\subset$ F(S).

Ebenso folgert man F(S) $\subset$ F(R).

3.6.19 Übung:: Man zeige, daß die Abbildungen z-->2z und z-->z/2 kommutieren, aber unterschiedliche Julia-Mengen haben.

3.6.20 Übung:: Man zeige, daß die Abbildungen P(z)=z(1+z²) und Q(z)=-P(z) dieselbe Julia-Menge haben, aber nicht konjugiert sind.

Julia-Menge von z(1+z^2)

Julia-Menge von z(1+z²) auf [-1,5;1,5]x[-1,5;1,5]

3.7 Funktionen mit leerer Fatou-Menge

Die ersten Beispiele von Funktionen mit leerer Fatou-Menge wurden 1918 mit Hilfe von Funktionalgleichungen von elliptischen Funktionen gefunden. Ich bringe hier nur ein Ergebnis, welches man in der Praxis gut verwenden kann, allerdings ohne Beweis.

3.7.21 Definition:: Ein kritischer Punkt einer rationalen Funktion R heißt präperiodisch, falls eines seiner Bilder unter Rⁿ periodisch ist, er selber aber nicht.

3.7.22 Satz:: Ist jeder kritische Punkt einer rationalen Abbildung präperiodisch, dann gilt J= ${\bf\hat C}$ .

Die Umkehrung gilt allerdings nicht.

3.7.23 Beispiel:: Die Funktion f(z)=1-2/z² hat einen kritischen Punkt $\infty$ . Der Vorwärts-Orbit ist $\infty$ -->1-->-1-->-1. Damit ist $\infty$ präperiodisch, und J= ${\bf\hat C}$ .