2 Julia- und Fatou-Mengen

2.1 Normalität von Familien von Funktionen

2.1.1 Definition:: (X,d) und (X₁,d₁) seien metrische Räume. Eine Familie f von Abbildungen von X nach X₁ heißt normal in einem Punkt x₀, falls gilt:

$\forall\epsilon>0 \exists\delta>0 \forall x\in X, f\in F: d(x_0,x)<\delta\Rightarrow d_1(f(x_0),f(x))<\epsilon.$

F heißt "normal" auf X₀ $\subset$ X, falls F normal in allen Punkten x₀ in X₀ ist.

Normalität ist auch als gleichgradige Stetigkeit bekannt. Es ist eine lokale Eigenschaft. Ist eine Familie von Funktionen normal auf mehreren Mengen, so ist sie auch normal auf der Vereinigung normal. Ist eine endliche Anzahl von Familien normal in einem Punkt, so ist auch ihre Vereinigung normal in diesem. Aus diesen Beobachtungen folgt sofort:

2.1.2 Satz:: Ist F eine Familie von Abbildungen (X,d)-->(X₁,d₁), so gibt es eine maximal offene Teilmenge von X, auf der F normal ist.

2.1.3 Übung:: Finde ein Beispiel für eine Familie F von Funktionen, so daß die Menge der Punkte, bei denen F normal ist, nicht offen ist. (Verleiche auch Übung 2.1.6..)

Normalität ist ein wichtiges Kriterium dafür, daß man aus einer Folge von Funktionen eine konvergente Teilfolge auswählen kann. Der entsprechende Satz nennt sich "Satz von Arzela-Ascoli". Wir verwenden hier eine etwas abgeschwächte Version:

2.1.4 Satz:: Es sei D $\subset$ ${\bf\hat C}$ und F eine Familie von Funktionen D--> ${\bf\hat C}$ , die auf D normal ist. Dann gibt es in jeder Folge von Funktionen aus F eine kompakt gleichmäßig konvergente Teilfolge. Sind die Funktionen insbesondere holomorph (meromorph), so ist die Grenzfunktion ebenfalls holomorph (meromorph), oder konstant Unendlich.

Aber wann ist eine Familie von meromorphen Funktionen normal? Paul Montel hat hierauf eine überraschende Antwort gefunden: Wenn es drei Funktionswerte gibt, die von den Funktionen nicht angenommen werden, so ist die Familie schon normal:

2.1.5 Satz (von Montel):: Es sei D $\subset$ ${\bf\hat C}$ und A= ${\bf\hat C}$ -{a,b,c} mit drei verschiedenen Punkten a,b,c in ${\bf\hat C}$ . Dann ist die Familie aller holomorphen Funktionen f:D-->A in D normal.

2.1.6 Übung:: F sei eine Familie holomorpher Funktionen. Zeige, daß die Menge aller Punkte, an denen F normal ist, offen ist.

2.2 Definition von Julia- und Fatou-Menge

2.2.7 Definition:: R: ${\bf\hat C}$ --> ${\bf\hat C}$ sei eine nicht-konstante meromorphe Funktion. Die Fatou-Menge von R ist die maximal offene Teilmenge von ${\bf\hat C}$ , auf der die Familie der Iterierten Rⁿ von R normal ist. Die Julia-Menge ist das Komplement der Fatou-Menge.
Im Folgenden bezeichnen wir diese beiden Mengen mit F(R) und J(R). Die Fatou-Menge wird manchmal auch Stabilitäts-Menge oder Normalitäts-Menge genannt. Wenn klar ist, von welcher Funktion R die Rede ist, schreiben wir auch einfach F und J.

Nach Definition ist die Fatou-Menge offen und die Julia-Menge abgeschlossen. Auf analoge Weise könnten wir natürlich auch die Fatou- und die Julia-Menge ganz allgemein für Funktionen von einem metrischen Raum in sich definieren. Wichtigstes Beispiel wären ganze Funktionen f:C-->C, die bei $\infty$ eine wesentliche Singularität haben.

Wir fangen mit folgender einfacher, aber sehr wichtiger Beobachtung an:

2.2.8 Proposition:: R sei eine nicht-konstante meromorphe Funktion. Dann gilt für jedes p in IN (p>0):

F(R^p)=F(R) und J(R^p)=J(R).

Beweis:

F(R) $\subset$ F(R^p) ist unmittelbar klar.

Für die Umkehrrichtung muß man sich überlegen, daß jede auf ${\bf\hat C}$ meromorphe Funktion eine Lipschitz-Bedingung bzgl. der Metrik d_s erfüllt: Es gibt also ein M>1 mit

d_s(R(x),R(y))<=M d_s(x,y) und damit d_s(R^k(x),R^k(y))<= M^kd_s(x,y).

In jedem Punkt von F(R^p) ist deshalb für festes k auch die Familie {R^kR^np} (n in IN) normal. Die Familie {Rⁿ} ist eine endliche Vereinigung solcher und damit ebenfalls in diesem Punkt normal.

2.2.9 Übung:: Zeige, daß die Julia-Menge von z-->z^d (d>=2) der Einheitskreis ist.

Julia-Menge von f(z)=z^2

Die einfachste Julia-Menge: Der Einheitskreis. (f(z)=z²)

2.2.10 Übung:: z sei ein Fixpunkt von R, d.h. R(z)=z. Zeige, daß z in der Fatou-Menge liegt, wenn er ein anziehender Fixpunkt (|R'(z)|<1) ist, und daß er in der Julia-Menge liegt, falls es ein abstoßender Fixpunkt (|R'(z)|>1) ist. (Fixpunkte werden noch erschöpfend in einem eigenen Abschnitt über Fixpunkte und periodische Punkte behandelt werden.)

2.2.11 Übung:: R und S seien zwei konjugierte rationale Abbildungen: S=gRg^-1 mit einer Möbius-Transformation g. Zeige: g(F(R))=F(S) und g(J(R))=J(S).

Diese Tatsache kann gut dazu genutzt werden, Julia-Mengen zu drehen oder zu spiegeln, von einer Kreisescheibe auf die obere Halbebene zu verschieben, etc.. Dies zeigen auch die beiden folgenden Bilder.

Julia-Menge von z^3+z+0,05 Julia-Menge von -z^3+z+0,05i

Julia-Mengen der Funktionen z³+z+0,05 und der mit z-->iz konjugierten Funktion -z³+z+0,05i.
Dargestellt je auf [-1,5;1,5]x[-1,5;1,5].

2.3 Invariante Mengen

2.3.12 Definition:

g sei eine Abbildung einer Menge X in sich. Eine Teilmenge E $\subset$ X heißt

(a): vorwärts invariant unter g, falls g(E)=E.
(b): rückwärts invariant unter g, falls g^-1(E)=E.
(c): invariant unter g, falls g(E)=E=g^-1(E).

2.3.13 Übung:: Man zeige: Ist g surjektiv auf X und E unter g rückwärts invariant, so ist es schon invariant. Ist g injektiv auf X und E unter g vorwärts invariant, so ist es schon invariant.

Für unsere rationalen Funktionen auf ${\bf\hat C}$ (vom Grad >=1) stimmen also Rückwärts-Invarianz und Invarianz überein, denn sie sind surjektiv.

2.3.14 Lemma:: g sei eine stetige, offene Abbildung eines topologischen Raumes X in sich. E $\subset$ X sei invariant unter g. Dann sind auch das Komplement X-E, das Innere E°, der Rand $\partial$ E und der Abschluß $\overline{E}$ invariant.

Für meromorphe Funktionen gilt die Gebietstreue: Es sind offene Abbildungen.

Außerdem werden wir später häufiger noch folgenden Satz benötigen:

2.3.15 Proposition:: g sei eine stetige Funktion eines topologischen Raums X in sich. g sei surjektiv, und X bestehe aus endlich vielen Zusammenhangskomponenten X_i. Dann gibt es ein m in IN, so daß jedes X_i invariant unter g^m ist.

Beweis:: Da g Komponenten in Komponenten abbildet, induziert es eine Abbildung h von {1,...,k} in sich. Mit g ist auch h surjektiv. Damit ist h sogar bijektiv, d.h. eine Permutation. h hat also endliche Ordnung: g^m(X_i) $\subset$ X_i. Nach dem vorigen Lemma sind die X_i damit invariant.

2.4 Invarianz der Julia- und der Fatou-Menge

2.4.16 Satz (Invarianz der Julia- und Fatou-Menge):: R sei eine rationale Abbildung. Dann sind die Fatou-Menge F(R) und die Julia-Menge J(R) invariant unter R.

Beweis:: Da R surjektiv ist, und wegen Lemma 2.3.14. und Übung 2.3.13, muß man nur zeigen, daß die Fatou-Menge rückwärts invariant ist. Dies folgt aber unmittelbar aus der Definition der Fatou-Menge und der Lipschitz-Stetigkeit von R.

Dagegen werden die einzelnen Komponenten der Julia- oder der Fatou-Menge im Allgemeinen weder vorwärts noch rückwärts invariant sein, da sie durch die Abbildung ausgetauscht werden. Immerhin kann man aber folgendes sagen:

2.4.17 Korollar:: Die Komponenten der Fatou-Menge (der Julia-Menge) werden genau aufeinander abgebildet. d.h. sind F₁, F₂ $\subset$ F(R) zwei solche Komponenten, so gilt:

R(F₁) $\subset$ F₂ ==> R(F₁)=F₂.

(Analog für die Julia-Menge.)

Beweis:: Würde R(F₁)<>F₂ gelten, so gäbe es ein z in $\partial$ F₁ mit R(z) in F₂. Dies kann aber nicht sein, da dann z in J(R) wäre, aber J(R) nach Satz 2.4.16. invariant unter R ist.

2.4.18 Korollar:: Ist P ein Polynom vom Grad >=2, dann ist $\infty$ in F(P), und die Komponente $F_\infty$ von F(P), die $\infty$ enthält, ist invariant unter P.

Beweis:: $\infty$ ist ein anziehender Fixpunkt. Deshalb ist er in der Fatou-Menge und P( $F_\infty$ )= $F_\infty$ .
Nun sei z in P^-1( $F_\infty$ ). z liege in einer Komponente F₁ von F(P), und P bildet F₁ in $F_\infty$ ab, da Komponenten auf Komponenten abgebildet werden müssen. Dies würde aber bedeuten, daß es ein w in F₁ mit P(w)= $\infty$ gibt. Da P ein Polynom war, kann dies nicht sein, außer wenn F₁= $F_\infty$