1 Julia-Mengen: Notationen und Voraussetzungen

In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Dinge erwähnt, die man kennen muß, um den folgenden Text zu verstehen. Grob gesagt braucht man als Rüstzeug ungefähr den Stoff, der in der ersten Hälfte einer Funktionentheorie-Vorlesung gebracht wird, plus einige weitere Sätze aus der Funktionentheorie.

1.1 Notationen

Die einzige unübliche Notation, die man sich in diesem Text merken muß, ist folgende: Für eine Funktion f bezeichnet fⁿ keine Potenz von f, sondern die iterierte Funktion:

f¹(z):=f(z) und fⁿ(z):=f(f^n-1(z)).

Analog ist f^-n die iterierte inverse Funktion, falls diese existiert.

1.2 Meromorphe Funktionen und die Riemannsche Zahlensphäre

Wir werden in diesem Text fast ausschließlich meromorphe Funktionen betrachten, d.h. Funktionen, die holomorph (komplex differenzierbar) sind, aber Pole besitzen dürfen.

Für diese Zwecke ist es praktisch, zur Menge der komplexen Zahlen C einen Punkt " $\infty$ " hinzuzunehmen. Hierdurch wird aus der komplexen Ebene eine Kugel, wobei $\infty$ dem Nordpol entspricht, 0 dem Südpol, und der Einheitskreis dem Äquator. Dieses Objekt bezeichnet man üblicherweise als Riemannsche Zahlensphäre ${\bf\hat C}$ . Aus dem Pol einer Funktion wird nun einfach eine Stelle mit dem Funktionswert $\infty$ und die Funktion ist ganz normal stetig an ihm.

Da die Funktion z-->1/z Nordpol und Süpol vertauscht, können wir definieren, was es bedeutet, daß eine Funktion im Punkt $\infty$ holomorph (meromorph) ist. Wir betrachten nämlich hierzu einfach f(1/z).

Der Betrag der komplexen Zahlen ist nun keine Metrik mehr, die die Topologie von ${\bf\hat C}$ adäquat wiedergibt. Wir brauchen deshalb eine neue Metrik. Wir nehmen diejenige einer Kugel mit Radius 1 im IR³. Diese ist gegeben durch das Linienelement

$\frac{2\vert dz\vert }{1+\vert z\vert ^2}$

Den hierdurch gegebenen Abstand bezeichnen wir auch als d_s ("s" für "sphärisch").

Die Funktion z-->1/z beispielsweise wird hiermit zu einer Isometrie, nämlich der Drehung um 180° um die Achse durch die Punkte 1 und -1.

Obwohl es in diesem Text (fast) ausschließlich um die sphärische Metrik geht, wird man sie nur selten im Text sehen. Dies liegt daran, daß wir meist nur daran interessiert sind, ob bestimmte Abstände in der sphärischen Metrik klein bleiben, oder gegen Unendlich gehen, während uns die genauen Werte nicht interessieren. In jedem Kompaktum läßt sich aber die sphärische Metrik durch einen Faktor nach oben und nach unten durch die euklidische Metrik abschätzen. Deshalb reicht es, für beschränkte Punktfolgen die euklidische Metrik zu betrachten. Folgen, die gegen $\infty$ gehen, sind in der sphärischen Metrik ebenfalls konvergent. Folgen, die unbeschränkt sind, aber unendlich viele Folgenglieder in einem Kompaktum in C haben, sind dagegen weder in der euklidischen noch in der sphärischen Metrik konvergent.

Man kann sich nun fragen, wie die auf ganz C meromorphen Funktionen aussehen. Die Antwort ist recht einfach:

1.2.1 Satz:: Die auf ${\bf\hat C}$ meromorphen Funktionen sind genau die rationalen Funktion.

Beweis:: (Skizze.) Da die Polstellen keine Häufungspunkte haben können, und ${\bf\hat C}$ kompakt ist, kann es nur endlich viele geben. Durch Multiplikation mit Faktoren (z-z_i)ⁿ an den Polen bzw. durch Teilen durch z^m, wobei m die Multiplizität des Pols bei $\infty$ ist, bekommen wir eine auf C holomorphe Funktion. Da diese in $\infty$ definiert ist und dort einen endlichen Wert annimmt, ist sie auf C holomorph und beschränkt. Damit ist sie nach dem Satz von Liouville konstant. f war eine rationale Funktion.

Als "Grad einer rationalen Funktion" bezeichnen wir im folgenden den höchsten vorkommenden Exponenten in der gekürzten Darstellung der Funktion (d.h. das Nenner- und das Zähler-Polynom haben keine gemeinsamen Nullstellen.)

1.3 Möbius-Transformationen

Die Funktionen, die die Riemannsche Zahlensphäre bijektiv und komplex differenzierbar auf sich selber abbilden, heißen Möbius-Transformationen. Alle Möbius-Transformationen haben die Form

$z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}\mbox{ mit }ad-bc\ne 0.$

Eine Möbiustransformation ist durch drei Bildpunkte eindeutig festgelegt. Oft definiert man eine Möbiustransformation durch die Bildpunkte der Punkte 0, 1, $\infty$ .

Jede Möbiustransformation für sich erfüllt natürlich eine Lipschitz-Bedingung auf ${\bf\hat C}$ , einfach, weil die Ableitung stetig auf einer kompakten Menge ist. Der folgende Satz sagt grob gesprochen, daß diese Lipschitz-Konstante nur dann wächst, wenn die Bildpunkte von zweien der drei Punkte zu nahe aneinander geraten:

1.3.2 Satz:

Es sei m>0. Dann erfüllen alle Möbiustransformationen g, für die gilt:

d_s(g(0), g(1))>=m , d_s(g(1), g( $\infty$ ))>=m und d_s(g( $\infty$ ), g(0))>=m

folgende Lipschitz-Bedingung:

d_s(g(z), g(w)) <= (Pi/m³)d_s(z,w).

Die rechte Seite ist also unabhängig von g.

Der Beweis besteht aus mehr oder weniger mühsamen Rechnen und wird hier nicht gezeigt.

1.4 Konjugierte Abbildungen

1.4.3 Definition:: Zwei holomorphe Abbildungen R:X-->X und S:Y-->Y heißen holomorph konjugiert, falls es eine holomorphe Bijektion g:X-->Y gibt mit

S=gRg^-1

Am meisten interessiert uns der Fall, wenn X=Y= ${\bf\hat C}$ ist. Die g sind in diesem Fall Möbiustransformationen. Das "holomorph" in "holomorph konjugiert" werde ich stets weglassen, da es in diesem Skript nur um holomorphe Abbildungen geht.

Konjugierte Abbildungen haben sehr ähnliche Eigenschaften. Wir brauchen später folgende Tatsache:

1.4.4 Lemma:: Eine nicht-konstante rationale Abbildung R ist genau dann konjugiert zu einem Polynom, falls es ein z in C gibt mit R^-1({z})={z}.

Beweis:: Polynome zeichnen sich genau durch R^-1({ $\infty$ })={ $\infty$ } aus. (D.h. dadurch, daß sie ihren einzigen Pol im Unendlichen haben.) Daraus folgt die Behauptung.

1.4.5 Übung:: Zeige, daß jedes Polynom vom Grad 2 konjugiert zu einer Abbildung der Form z-->z²+c (c in C) ist.

1.5 Die Riemann-Hurwitz-Formel

Ist f eine holomorphe Abbildung, so heißt z kritischer Punkt von f, falls f'(z)=0, d.h. falls f bei z eine mehrfache f(z)-Stelle hat. Die Ordnung dieser Stelle bezeichnen wir auch mit v_f(z). An den meisten Stellen ist also v_f(z)=1, aber an kritischen Punkten ist v_f(z)>1. Für rationale Funktionen kann man v_f auch im Punkt $\infty$ definieren. Ein Funktionswert eines kritischen Punktes heißt kritischer Wert.

Da für rationale Funktionen f' nur endlich viele Nullstellen haben kann, gibt es nur endlich viele kritische Punkte.

1.5.6 Satz (Riemann-Hurwitz-Formel für ${\bf\hat C}$ ): Für jede nicht-konstante rationale Abbildung R gilt:

$\sum\limits_{\bf\hat C}(v_R(z)-1)\quad=\quad 2{\rm deg}(R)-2.$

Die Summe ist in Wirklichkeit endlich.

Wir werden hier sogar noch eine etwas allgemeinere Formel brauchen:

1.5.7 Satz (Riemann-Hurwitz-Formel für Gebiete): R:U-->V sei eine m-blättrige surjektive Abbildung. Es gebe keine kritischen Werte auf dem Rand von V. e(U) und e(V) seien die Euler-Charakteristiken von U und V. Dann gilt:

$e(U)+\sum\limits_U(v_R(z)-1)\quad=\quad m\cdot e(V).$

Für geschlossene Flächen (d.h. ohne Rand) ist die Euler-Charakteristik nichts anderes als 2-2g, wobei g das Geschlecht der Fläche ist. Wichtig für uns ist auch noch der Fall der Einheitskreisscheibe. In diesem Fall ist die Euler-Charakteristik 1.