9 Euklidische und hyperbolische Metrik

Bisher haben wir nur rationale Funktionen R: ${\bf\hat C}$ --> ${\bf\hat C}$ betrachtet, wobei wir die Zahlensphäre mit der sphärischen Metrik versehen hatten. Was passiert, wenn wir andere Metriken betrachten. Zwei einfache Bespiele werden hier behandelt.

9.1 Polynome und euklidische Metrik auf C

In diesem Abschnitt betrachten wir Polynome P:C-->C, wobei die komplexe Ebene mit der euklidischen Metrik versehen ist.

9.1.1 Proposition:: P sei ein Polynom vom Grad >2. J^s(P) und F^s(P) seien die Julia- und die Fatou-Menge bzgl. der sphärischen Metrik auf C, $F^s_\infty$ die Komponente, auf der die iterierten Funktionswerte gegen $\infty$ konvergieren, J^e(P) und F^e(P) seien die Julia- und Fatou-Menge bzgl. der euklidischen Metrik. Dann gilt:

J^e(P) = J^s(P) $\cup$ $F^s_\infty$ .

Beweis:: Auf jedem Kompaktum lassen sich die beiden Metriken gegeneinander abschätzen. Punkte, deren Orbits ganz in einem Kompaktum bleiben, liegen also entweder in beiden Julia-Mengen, oder in beiden Fatou-Mengen.
Die anderen Punkte sind genau die, deren Bilder gegen $\infty$ konvergieren. Diese liegen in $F^s_\infty$ und in J^e(P).

9.2 Hyperbolische Metrik

Man kann Julia- und Fatou-Mengen auch wie folgt sehen: Ist X $\subset$ C versehen mit einer Metrik d, die durch ein Linienelement r(z)|dz| gegeben ist, und f:X-->X eine holomorphe Funktion, so kann man die Metrik mittels f zurückziehen. Die zurückgezogene Metrik f^*(d) ist dann gegeben durch das Linienelement

r(f(z)) |f'(z)| |dz|.

Die Metrik zurückzuziehen ist eine Standardkonstruktion der Differentialgeometrie. Die Funktion f:(X,f^*(d))-->(X,d) wird hiermit an Stellen mit f'(z)<>0 zu einer lokalen Isometrie. Insbesondere haben die Räume (X,f^*(d)) und (X,d) an solchen Punkten z und f(z) dieselbe Gaußsche Krümmung, sofern diese überhaupt definiert ist, d.h. sofern r(f(z) und f'(z) ungleich 0 sind. Die Gaußsche Krümmung einer solchen Metrik ist genau gegeben durch

$k(z,r)=-\frac{\Delta\ln r(z)}{r^2(z)}.$

Man sieht nun leicht, daß ein Punkt z₀ genau dann zur Fatou-Menge bzgl. der Metrik d gehört, falls die zurückgezogenen Metriken (fⁿ)^*(d) bei ihm beschränkt bleiben. Sind sie dagegen unbeschränkt, so gehört er zur Julia-Menge. Dies liegt einfach daran, daß für z nahe bei z₀ der Abstand der Bildpunkte d(fⁿ(z₀),fⁿ(z)) nichts anderes ist, als der Abstand (fⁿ)^*(d)(z₀,z).

Unser Resultat folgt aus dem folgenden Lemma:

9.2.2 Lemma von Ahlfors: r(z)|dz| sei eine Metrik auf der Einheitskreisscheibe ID, wobei r(z) höchstens isolierte Nullstellen hat. r(z) sei stetig und positiv und außerhalb der Nullstellen zweimal stetig differenzierbar. Die Gaußsche Krümmung außerhalb dieser Nullstellen sei <=-1. Dann ist

r(z) <= 2/(1-|z|²),

die Metrik ist also kleiner als die hyperbolische Metrik.

Beweis:

Es sei a in (0,1). r_a sei die hyperbolische Metrik auf D(0,a), d.h.

r_a(z)=2a/(a²-|z|²).

Wir zeigen, daß r<=r_a auf D(0,a). Lassen wir dann z fest und a gegen 1 laufen, folgt die Behauptung.

Also sei v=r/r_a. v ist nicht-negativ und stetig, und es ist v(z)-->0 für |z|-->a. Also nimmt v ein Maximum M an einem Punkt z₀ im Inneren von D(0,a) an. Wir müssen nur noch zeigen, daß M<=1 ist.

Falls r(z₀)=0 ist, dann ist auch M=0 und wir sind fertig. Es sei also r(z₀)>0. Da v ein Maximum bei z₀ hat, gilt:

$0\ge\Delta\ln v(z_0) = -k(z_0,r)r^2(z_0)+k(z,r_a)r_a^2(z_0) \ge r^2(z_0)-r_a^2(z_0).$

Deshalb ist r(z₀)/r_a(z₀)<=1.

Anders ausgedrückt: Die hyperbolische Metrik ist die größte Metrik auf ID mit Krümmung <=-1. Dieses Lemma ist stark verwandt mit dem Schwarzschen Lemma, das besagt, daß für eine holomorphe Funktion f:ID-->ID mit f(0)=0 gilt: |f'(0)|<=1. Tatsächlich sind die beiden für Metriken, die durch holomorphe Funktionen entstehen, äquivalent.

(Diese Tatsache ist schon länger bekannt. Der Beweis hier folgt [MiSch].)

9.2.3 Satz:: f:ID-->ID sei eine holomorphe Funktion der Einheitskreisscheibe (versehen mit der hyperbolischen Metrik) in sich. Dann ist J(f) die leere Menge.

Beweis:: Alle zurückgezogenen Metriken erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas von Ahlfors. (Sie haben außerhalb der Nullstellen sogar eine Krümmung von genau -1.) Insbesondere sind sie gleichmäßig durch die hyperbolische Metrik beschränkt. Die Julia-Menge war aber genau die Menge der Punkte, an denen die zurückgezogenen Metriken nicht beschränkt waren.