Hyperbolische und sphärische Trigonometrie, Einführung

Was man aus der Vorlesung wissen muß

Sphärische Geometrie ist Geometrie auf der Kugeloberfläche, d.h. auf S². Die Geodätischen sind genau die Großkreise. Die orientierungserhaltenden Isometrien genau die Drehungen in IR³.

Hyperbolische Geometrie ist Geometrie auf der hyperbolischen Ebene H². Für diese gibt es mehrere Modelle. Wir werden hier das Kreisscheiben-Modell und das Hyperboloid-Modell benutzen.

Das Kreisscheiben-Modell der hyperbolischen Ebene

Hier ist die hyperbolische Ebene die Einheitskreisscheibe D={z | |z|<1} mit der durch das Linienelement |dz|=2/(1-|z|²) gegebenen Riemannschen Metrik. Die Geodätischen sind genau diejenigen Kreisstücke, die den "idealen Rand" S¹ orthogonal schneiden.

Die orientierungserhaltenden Isometrien sind genau die konformen Selbstabbildungen von D, und diese lassen sich immer schreiben als

$f(z)=e^{i\varphi}\frac{z-w}{1-\overline{w}z}\qquad\vert w\vert <1;$

oder auch als

$f(z)=\frac{az+b}{\overline{b}z+\overline{a}}\qquad \vert a\vert ^2-\vert b\vert ^2=1.$

Skizzen der beiden Modelle der hyperbolischen Geometrie

Abb.1: Das Kreisscheibenmodell (links) und das Hyperboloid-Modell (rechts).

Das Hyperboloid-Modell

Im R³ betrachten wir die Bilinearform

h(X,Y) = x₁y₁+x₂y₂ -x₃y₃.

In diesem Modell ist die hyperbolische Ebene die Menge {X in R³ | h(X,X)=-1 und x₃>0}. Dies ist das Hyperboloid im oberen Halbraum. Die Bilinearform ist, eingeschränkt auf dessen Tangentialraum, positiv definit. Durch sie ist die Riemannsche Metrik der hyperbolische Ebene gegeben.

Die Bilinearform h ist invariant unter den beiden Abbildungen

Diese beiden bilden die hyperbolische Ebene folglich auf sich selber ab und erhalten die Metrik, sind also Isometrien. Die Isometriegruppe wird von diesen beiden Abbildungen erzeugt.

Die Geodätischen sind genau die Schnitte des Hyperboloids mit (euklidischen) Ebenen durch den Nullpunkt.

Den Punkt (0,0,1) bezeichne ich im folgenden übrigens als "Nullpunkt der hyperbolischen Ebene". In beiden Modell gibt es nämlich einen ausgezeichneten Punkt. (Ausgezeichnet im Modell, nicht in der hyperbolischen Ebene.) $R_\varphi$ ist die elliptische Isometrie, die die hyperbolische Ebene um den Winkel $\varphi$ um ihren Nullpunkt dreht. M_r ist eine hyperbolische Isometrie, die die hyperbolische Ebene um r entlang ihrer Achse verschiebt.

Die Isometrien der Sphäre

Da wir die oben definierten Abbildungen M_r und $R_\varphi$ bei der Herleitung von trigonometrischen Formeln brauchen werden, definieren wir entsprechende Isometrien der Einheitssphäre wir folgt:

Dreiecke

In diesem Abschnitt werden wir die trigonometrischen Formeln für hyperbolische (und sphärische) Dreiecke herleiten, d.h. die Analoga für den euklidischen Sinussatz, den Cosinussatz und den Satz des Pythagoras.

Skizze von hyperbolischen Dreiecken

Und zwar sei ein Dreieck wie abgebildet mit Seitenlängen a,b,c und Winkeln , , gegeben. Wir nehmen an, daß die Ecke B auf dem Nullpunkt des Hyperboloid-Modells liegt (mittlere Zeichnung). Durch die Abbildung M_c wie in Abschnitt über das Hyperboloid-Modell definiert) wird die Ecke A auf den Nullpunkt geschoben, und das Dreieck sieht wie in der rechten Zeichnung aus. Durch die Abbildung $R_{\pi-\alpha}$ wird das Dreieck nun gedreht, so daß es wieder wie in der mittleren Zeichnung liegt.

Auf diese Weise machen wir weiter, bis wir "einmal rum" sind. Die Verkettung all dieser Abbildungen, die wir angewandt haben, ist die Identität:

$R_{\pi-\beta}M_aR_{\pi-\gamma}M_bR_{\pi-\alpha}M_c=\mbox{id}.$

Die Umkehrfunktion von M_x ist M_-x und die von $R_{\varphi}$ ist $R_{-\varphi}$ . Folglich ist

$M_aR_{\pi-\gamma}M_b = R_{\beta-\pi}M_{-c}R_{\alpha-\pi}.$

Rechnet man das einfach aus, bekommt man

Aus den Matrix-Einträgen, die nicht in der ersten Zeile oder der ersten Spalte stehen, bekommen wir folgende Identitäten:

Satz:

Für geodätische Dreiecke in der hyperbolischen Ebene gilt:

(a) Cosinus-Satz:

cosh c = - sinh a sinh b cos + cosh a cosh b

(b) Alternativer Cosinus-Satz:

cos = sin sin cosh c - cos cos

(c) Sinus-Satz:

sinh a		sinh b		sinh c
----------	=	----------	=	----------
sin		sin		sin

Die entsprechenden Sätze für sphärische Dreiecke erhält man, wenn man den cosh durch den cos, und den sinh durch den sin ersetzt.

Ist =pi/2, so bekommt man aus (a) den hyperbolischen Satz des Pythagoras:

Satz (des Pythagoras):

Für geodätische Dreiecke in der hyperbolischen Ebene mit einem rechten Winkel gilt:

cosh c = cosh a cosh b.

Im sphärischen Fall lautet es entsprechend

cos c = cos a cos b.

Entwickelt man übrigens diese Identitäten in eine Reihe, so erhält man für kleine a,b,c den euklidischen Satz des Pythagoras. Für rechtwinklige Dreiecke bekommt man auch noch eine Menge andere Identitäten, die im euklidischen Fall keine Entsprechung haben. Hierzu setze man auch die anderen Winkel und auf pi/2.

Übung:: Führe die entsprechenden Rechnungen im Kreisscheiben-Modell durch. Dies erscheint auf den ersten Blick sinnvoller, da es sich dabei nur um komplexe 2x2-Matrizen handeln. Warum bekommt man dennoch keine vernünftigen Formeln raus?

Übung:: Es sei l in IR⁺. Berechne die Innenwinkel des regelmäßigen n-Ecks mit Seitenlänge l.

Übung:: Zeige, daß der Inkreisradius eines hyperbolischen Dreiecks mit Innenwinkeln , , gegeben ist durch

$r= \frac{\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} {2(1+\cos\alpha)(1+\cos\beta)(1+\cos\gamma)}.$

Formeln für Vier-, Fünf- und Sechsecke

Dieselbe Methode, mit der wir im vorigen Abschnitt die trigonometrischen Formeln für geodätische Dreiecke hergeleitet haben, kann man natürlich auch bei n-Ecken anwenden. Normalerweise bekommt man dabei aber schon für Vierecke Formeln, die so lang sind, daß man mit ihnen nichts mehr anfangen kann.

Formeln ähnlicher Komplexität wie der Sinus- oder Cosinus-Satz bekommt man allerdings für Vierecke mit zwei rechten Winkeln, für Fünfecke mit vier rechten Winkeln und für Sechsecke mit sechs rechten Winkeln. Die Matrizen, die man nämlich durch die Drehungen um pi/2 bekommt, produzieren keine zusätzlichen Terme, sondern vertauschen nur die Koordinaten und änderen deren Vorzeichen.

Diese Formeln entnehme man dem nächsten Abschnitt.